∵DC∥AB， ∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE＝PC，
设PC＝x，则PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x， ∴PD＝EQ，
∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE＝EF， ∵DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形， 易证明△DEC≌△BEC， ∴DE＝BE， ∴EF＝BE， ∵EQ⊥FB，
1
∴FQ＝BQ＝ BF，
2
∵AB＝4，F是AB的中点， ∴BF＝2，
∴FQ＝BQ＝PE＝1，
∴CE＝2 ，PD＝4－1＝3，
22
Rt△DAF中，DF＝4＋2＝25 ， DE＝EF＝10 ， 如图2，∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA， CGDCDG4
∴＝＝＝ ＝2， AGAFFG2
∴CG＝2AG，DG＝2FG，
125∴FG＝×25＝ ，
3322
∵AC＝4＋4＝42 ，
282∴CG＝×42＝ ，
338252∴EG＝－2＝ ，
33
连接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE＝45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
25310
∴GH＝FH＝＝ ，
32∴EH＝EF－FH＝10－
10210
＝ ， 33
10
， 3
由折叠得：GM⊥EF，MH＝GH＝∴∠EHM＝∠DEF＝90°， ∴DE∥HM，
∴△DEN∽△MNH，
DEENMHNH10EN∴＝ ＝3，
10NH∴＝ ， 3
∴EN＝3NH，
210
∵EN＋NH═EH＝ ，
3∴EN＝
10 ， 2
2101010
∴NH＝EH－EN＝－＝ ，
326
Rt△GNH中，GN＝GH＋NH＝
22
(
10210252
)＋()＝ ， 366
由折叠得：MN＝GN，EM＝EG，
10525252＋10＋＋＝ ； 2632
解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R， ∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝
∵AC平分∠DAB， ∴GK＝GR，
1
S△ADG2AD﹒KGAD4∴＝＝＝ ＝2， S△AGF1AF2
AF﹒GR21
S△ADG2DG﹒h∵＝ ＝2， S△AGF1
GF﹒h2∴ ＝2，
DGGFS△DNFDFDN同理，＝＝ ＝3，
S△MNFFMMN其它解法同解法一，
10525252＋10＋＋＝ ； 2632
解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD， 可得：∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝
∵AC是对角线， ∴EP＝EQ，
易证△DQE和△FPE全等，
∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP， 设EP＝x，则DQ＝4－x＝FP＝x－2， 解得x＝3，所以PF＝1，
22
∴AE＝3＋3＝32 ， ∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
282
∴同解法一得：CG＝×42＝ ，
338252
∴EG＝－2＝ ，
33
142
，
33
过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD， 则易证△GHF≌△FKM全等，
42
∴GH＝FK＝ ，HF＝MK＝ ，
33
AG＝AC＝
410210
∵ML＝AK＝AF＋FK＝2＋＝ ，DL＝AD－MK＝4－＝ ，
3333
即DL＝LM， ∴∠LDM＝45°
∴DM在正方形对角线DB上， 过N作NI⊥AB，则NI＝IB， 设NI＝y， ∵NI∥EP ∴＝
∴＝ ， 31
解得y＝1.5，
所以FI＝2－y＝0.5， ∴I为FP的中点， ∴N是EF的中点，
10
∴EN＝0.5EF＝ ，
2
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5，
31022325
∴BN＝2 ，BK＝AB－AK＝4－＝ ，BM＝2 ，MN＝BN－BM＝2－2＝2 ，
2333236∴△EMN的周长＝EN＋MN＋EM＝
10525252＋10
＋＋＝ ． 2632
NIFIEPFPy2－y
同类题型3.2 如图，∠MON＝40°，点P是∠MON内的定点，点A、B分别在OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，则∠APB的度数为（ ） A．20° B．40° C．100° D．140°
解：如图所示：
分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″． 如图所示：由轴对称性质可得，
OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB， 所以∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，
所以∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°－80°）÷2＝50°， 又因为∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，