同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________． （1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）

322

在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；（5）OG﹒BD＝AE＋CF ．

4

同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D 时，点G移动的路径长为 _____________．

参考答案

例1．如图，△APB中，AB＝2 2 ，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________．

解：如图，延长EP交BC于点F，

∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°， ∴∠EPC＝150°，

∴∠CPF＝180°－150°＝30°， ∴PF平分∠BPC， 又∵PB＝PC， ∴PF⊥BC，

1122

设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则CF＝CP＝ b，a＋b ＝8，

22

∵△APE和△ABD都是等边三角形，

∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAD＝∠PAB，

∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴ED＝PB＝CP，

同理可得：△APB≌△DCB（SAS）， ∴EP＝AP＝CD，

∴四边形CDEP是平行四边形，

11

∴四边形CDEP的面积＝EP×CF＝a×b＝ ab，

22

222

又∵（a－b）＝a－2ab＋b ≥0，

22

∴2ab≤a＋b ＝8， 1

∴ ab≤2， 2

即四边形PCDE面积的最大值为2．

同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________．

解：∵△APE和△ABD是等边三角形，

∴AE＝AP＝4，AB＝AD，∠EAP＝∠DAB＝60°， ∴∠EAD＝∠PAB＝60°－∠DAP， 在△EAD和△PAB中 ??AE＝AP?∠EAD＝∠PAB ??AD＝AB∴△EAD≌△PAB（SAS）， ∴DE＝BP，

同理△DBC≌△ABP，

∴DC＝AP，

∵△APE和△BPC是等边三角形， ∴EP＝AP，BP＝CP，

∴DE＝CP＝3，DC＝PE＝4， ∴四边形PCDE是平行四边形，

当CP⊥EP时，四边形PCDE的面积最大，最大面积是3×4＝12．

同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④

解：∵△ABE、△ADF是等边三角形

∴FD＝AD，BE＝AB ∵AD＝BC，AB＝DC ∴FD＝BC，BE＝DC

∵∠B＝∠D，∠FDA＝∠ABE ∴∠CDF＝∠EBC

∴△CDF≌△EBC，故①正确；

∵∠FAE＝∠FAD＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA， ∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA， ∴∠CDF＝∠EAF，故②正确；

同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF， ∵BC＝AD＝AF，BE＝AE， ∴△EAF≌△EBC， ∴∠AEF＝∠BEC，

∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°， ∴∠FEC＝60°， ∵CF＝CE，

∴△ECF是等边三角形，故③正确； 在等边三角形ABE中，

∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段

∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，题目缺少这个条件，CG⊥AE不能求证，故④错误． 选B．

同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．其中正确的有______________．（填序号）

解：证明：∵BC＝EC，

∴∠CEB＝∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，

∴∠CEB＝∠EBF， ∴∠CBE＝∠EBF，

∴①BE平分∠CBF，正确； ∵BC＝EC，CF⊥BE， ∴∠ECF＝∠BCF，

∴②CF平分∠DCB，正确； ∵DC∥AB，

∴∠DCF＝∠CFB， ∵∠ECF＝∠BCF， ∴∠CFB＝∠BCF， ∴BF＝BC， ∴③正确；

∵FB＝BC，CF⊥BE，

∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC， ∴PF＝PC，故④正确． 答案为①②③④．

同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ） A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE