解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AH∥BG，AD＝BC， ∴∠H＝∠HBG， ∵∠HBG＝∠HBA， ∴∠H＝∠HBA，

∴AH＝AB，同理可证BG＝AB， ∴AH＝BG，∵AD＝BC， ∴DH＝CG，故C正确， ∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB， ∴OH＝OB，故A正确， ∵DF∥AB，

∴∠DFH＝∠ABH， ∵∠H＝∠ABH， ∴∠H＝∠DFH，

∴DF＝DH，同理可证EC＝CG， ∵DH＝CG，

∴DF＝CE，故B正确， 无法证明AE＝AB， 选D．

例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不

AB62

重叠、无缝隙）．图乙中＝ ，EF＝4cm，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm ，其

BC7

内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________．

解：如图乙，H是CF与DN的交点，取CD的中点G，连接HG，

，

设AB＝6acm，则BC＝7acm，中间菱形的对角线HI的长度为xcm， ∵BC＝7acm，MN＝EF＝4cm，

7a＋4∴CN＝ ，

2

∵GH∥BC， ∴＝ ，

21

＝ ， 7a＋422

∴x＝3.5a－2?（1）； ∴

2∵上下两个阴影三角形的面积之和为54cm ， ∴6a﹒（7a－x）÷2＝54， ∴a（7a－x）＝18?（2）； 由（1）（2），可得 a＝2，x＝5，

7a＋47×2＋4

∴CD＝6×2＝12（cm），CN＝＝＝9(cm) ，

22∴DN＝又∵DH＝

22

12＋9 ＝15（cm），

GHDGCNDC7a－x27×2－526＋() ＝7.5（cm），

2

∴HN＝15－7.5＝7.5（cm）， ∵AM∥FC， KNMN44∴＝＝＝ ， HKCM9－45

525

∴HK＝×7.5＝(cm) ，

4＋56

2550

∴该菱形的周长为：×4＝ （cm）．

63

同类题型2.1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．

DG＋GH＝

22

解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120° ∴AB＝AD，∠A＝60°， ∵BM＝AE， ∴AD＝ME，

∵△DEF为等边三角形，

∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，

∴∠MEF＋∠DEA═120°，∠ADE＋∠DEA＝180°－∠A＝120°， ∴∠MEF＝∠ADE，

∴在△DAE和△EMF中， ??AD＝ME?∠MEF＝∠ADE ?DE＝EF?

∴△DAE≌EMF（SAS），

∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°， 又∵BM＝AE，

∴△BMF是等边三角形， ∴BF＝AE，

∵AE＝t，CF＝2t，

∴BC＝CF＋BF＝2t＋t＝3t， ∵BC＝4， ∴3t＝4，

4∴t＝ ．

3

同类题型2.2 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是____________．

解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°，

11∴FD＝MD＝ ，

22∴FM＝DM×cos30°＝

3

， 2

22

∴MC＝FM＋CF＝7 ， ∴A′C＝MC－MA′＝7 －1．

同类题型2.3 如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°．顺次连接菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1 ；顺次连接四边形A1B1C1D1 各边中点，可得四边形A2B2C2D2 ；顺次连接四边形A2B2C2D2 各边中点，可得四边形A3B3C3D3 ；按此规律继续下去?，则四边形A2017B2017C2017D2017 的周长是______________．

解：∵菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°，顺次连结菱形ABCD各边中点， ∴△AA1D1 是等边三角形，四边形A2B2C2D2 是菱形，

1

∴A1D1 ＝5，C1D1＝AC＝53 ，A2B2＝C2D2＝C2B2＝A2D2 ＝5，

2111

同理可得出：A3D3＝5× ，C3D3＝C1D1＝×53 ，

222

12112

A5D5＝5×（） ，C5D5＝C3D3＝（）×53 ，

222

?

5＋53

∴四边形A2015B2015C2015D2015 的周长是： ．

10072

例3． 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，EF⊥EC交AD于点F，连接CF（AD＞AE），

BC3

下列结论：①∠AEF＝∠BCE；②S△CEF＝S△EAF＋S△CBE ；③AF＋BC＞CF； ④若＝ ，

CD2

则△CEF≌△CDF．其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号）

解：延长CB，FE交于点G，

∵∠AEF＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°， ∴∠AEF＝∠BCE，①正确； 在△AEF和△BEG中， ??∠FAE＝∠GBE＝90°

， ?AE＝BE??∠AEF＝∠BEG∴△AEF≌△BEG（ASA）， ∴AF＝BG，EF＝EG， ∵CE⊥EG，

∴S△CEG＝S△CEF ，CG＝CF，

∴S△CEF＝S△EAF＋S△CBE ，②正确； ∴AF＋BC＝BG＋BC＝CG＝CF，③错误；