BC3

，

CD2

∴∠BCE＝30°，∴∠FCE＝∠FCD＝30°， 在△CEF和△CDF中， ??∠D＝∠FEC＝90°

， ?∠DCF＝∠ECF?CF＝CF?

∴△CEF≌△CDF（AAS），④正确．

∵＝

同类题型3.1 如图，在矩形ABCD中，AD＝ 2 AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AED＝∠CED；②AB＝HF，③BH＝HF；④BC－CF＝2HE；⑤OE＝OD； 其中正确结论的序号是____________．

解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=2 AB， ∵AD=2 AB， ∴AE＝AD，

?在△ABE和△AHD中，?∠BAE＝∠DAE

?∠ABE＝∠AHD＝90°，

??AE＝AD

∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE＝DH，

∴AB＝BE＝AH＝HD，

∴∠ADE＝∠AED＝1

2

（180°－45°）＝67.5°，

∴∠CED＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠CED，故①正确；

∵∠AHB=1

2

（180°－45°）＝67.5°，∠OHE＝∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE＝∠AED， ∴OE＝OH，

∵∠DOH＝90°－67.5°＝22.5°，∠ODH＝67.5°－45°＝22.5°， ∴∠DOH＝∠ODH， ∴OH＝OD，

∴OE＝OD＝OH，故⑤正确；

∵∠EBH＝90°－67.5°＝22.5°， ∴∠EBH＝∠OHD，

又∵BE＝DH，∠AEB＝∠HDF＝45°

??∠EBH＝∠OHD

在△BEH和△HDF中?BE＝DH

??

∠AEB＝∠HDF

∴△BEH≌△HDF（ASA），

∴BH＝HF，HE＝DF，故③正确；

由上述①、②、③可得CD＝BE、DF＝EH＝CE，CF＝CD－DF， ∴BC－CF＝（CD＋HE）－（CD－HE）＝2HE，所以④正确； ∵AB＝AH，∠BAE＝45°， ∴△ABH不是等边三角形， ∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故②错误；

综上所述，结论正确的是①③④⑤．

同类题型3.2 如图，在矩形ABCD中，BC＝ 2 AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交AB边于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：

1

①AD＝DE②DH＝2 2 EH③△AEH∽△CFB④HO＝AE

2

其中正确命题的序号是________________（填上所有正确命题的序号）

解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝2AB＝2 CD， ∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∵AD⊥DE，

∴△ADH是等腰直角三角形， ∴AD＝2 AB， ∴AH＝AB＝CD，

∵△DEC是等腰直角三角形， ∴DE＝2 CD， ∴AD＝DE，

∴∠AED＝67.5°，

∴∠AEB＝180°－45°－67.5°＝67.5°， ∴∠AED＝∠AEB， ∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE， 故①正确； 设DH＝1，

则AH＝DH＝1，AD＝DE＝2 ， ∴HE＝2 ，

∴22HE＝22≠1， 故②错误；

∵∠AEH＝67.5°， ∴∠EAH＝22.5°，

∵DH＝CD，∠EDC＝45°， ∴∠DHC＝67.5°，

∴∠OHA＝22.5°， ∴∠OAH＝∠OHA， ∴OA＝OH，

∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°， ∴OH＝OE，

1

∴OH＝ AE，

2故④正确；

∵AH＝DH，CD＝CE， 在△AFH与△CHE中， ??∠AHF＝∠HCE＝22.5°

?∠FAH＝∠HEC＝45°，

?AH＝CE?

∴△AFH≌△CHE， ∴∠AHF＝∠HCE， ∵AO＝OH，

∴∠HAO＝∠AHO，

∴∠HAO＝∠BCF，∵∠B＝∠AHE＝90°， ∴△AEH∽△CFB，故③正确． 答案为：①③④．

同类题型3.3 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（ ）

2112A． B． C． D．

4433

解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点，

11

∴BE＝BC＝ AD，

22

∴△BEF∽△DAF， EFBE1∴＝＝ ， AFAD2

1

∴EF＝ AF，

21

∴EF＝ AE，

3

∵点E是边BC的中点，

∴由矩形的对称性得：AE＝DE，

1

∴EF＝ DE，设EF＝x，则DE＝3x，

3∴DF＝

DE－EF＝22 x，

EFx2

∴tan∠BDE＝＝＝ ；

DF22x4

22

选A．

例4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线AP交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝ 6 ，下列结论：

①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2 ；③EB⊥ED； ④S△APD＋S△APB＝1＋ 6 ．⑤S正方形ABCD＝4＋ 6． 其中正确结论的序号是___________________．

解：①∵∠EAB＋∠BAP＝90°，∠PAD＋∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∵在△APD和△AEB中， ??AE＝AP

?∠EAB＝∠PAD，

??AB＝AD

∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB，

∵∠AEB＝∠AEP＋∠BEP，∠APD＝∠AEP＋∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立；

②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°，

22

又∵BE＝BP－PE ＝2， ∴BF＝EF＝2 ， 故此选项正确；

④如图，连接BD，在Rt△AEP中，

∵AE＝AP＝1， ∴EP＝2 ， 又∵PB＝6 ， ∴BE＝2，

∵△APD≌△AEB，