∴PD＝BE＝2，

1111

∴S△ABP＋S△ADP＝S△ABD－S△BDP＝ S正方形ABCD－×DP×BE＝×（4＋6）－×2

22226

． 2

故此选项不正确．

⑤∵EF＝BF＝2 ，AE＝1，

222

∴在Rt△ABF中，AB＝（AE＋EF）＋BF＝5＋22 ，

2

∴S正方形ABCD＝AB＝5＋22， 故此选项不正确． 答案为：①②③．

同类题型4.1 如图，正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止．点N是正方形ABCD内任一点，把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝（ ） 4－ππ1π－1A． B． C． D．

4444×2＝

解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以1为半径的四个扇形，

∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．

2

90π×1

而正方形ABCD的面积为2×2＝4，4个扇形的面积为4× ＝π，

360

∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4－π，

4－π

∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P，则P＝ ．

4

选：A．

同类题型4.2 如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH＝DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：

12

①FH＝2BH；②AC⊥FH；③S△ACF ＝1；④CE＝ AF；⑤EG ＝FG﹒DG，其中正确结论的个

2

数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

解：①②如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝90°， ∵AE平分∠DAC，

∴∠FAD＝∠CAF＝22.5°， ∵BH＝DF，

∴△ABH≌△ADF，

∴AH＝AF，∠BAH＝∠FAD＝22.5°， ∴∠HAC＝∠FAC， ∴HM＝FM，AC⊥FH， ∵AE平分∠DAC， ∴DF＝FM，

∴FH＝2DF＝2BH， 故选项①②正确；

③在Rt△FMC中，∠FCM＝45°， ∴△FMC是等腰直角三角形， ∵正方形的边长为2，

∴AC＝22 ，MC＝DF＝22 －2，

∴FC＝2－DF＝2－（22－2）＝4－22 ，

1

S△AFC＝ CF﹒AD≠1，

2

所以选项③不正确；

2222

④AF＝AD＋DF＝2＋(22－2)＝24－22 ， ∵△ADF∽△CEF， ∴＝ ， 224－22∴＝ ， CE4－22

∴CE＝4－22 ，

1

∴CE＝ AF，

2

故选项④正确；

⑤延长CE和AD交于N，如图2，

ADAFCEFC

∵AE⊥CE，AE平分∠CAD， ∴CE＝EN， ∵EG∥DN， ∴CG＝DG，

在Rt△FEC中，EG⊥FC，

2

∴EG ＝FG﹒CG，

2

∴EG ＝FG﹒DG， 故选项⑤正确；

本题正确的结论有4个， 故选C．

同类题型4.3 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ______________． （1）EF＝ 2 OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；（3）BE＋BF＝ 2 OA；（4）

322

在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；（5）OG﹒BD＝AE＋CF ．

4

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°， ∴∠BOF＋∠COF＝90°， ∵∠EOF＝90°，

∴∠BOF＋∠COE＝90°，

∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ??∠BOE＝∠COF， ?OB＝OC??∠OBE＝∠OCF∴△BOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF，BE＝CF， ∴EF＝2 OE；故正确；

1

（2）∵S四边形OEBF＝S△BOE＋S△BOE＝S△BOE＋S△COF＝S△BOC＝S正方形ABCD，

4

∴S四边形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；故正确；

（3）∴BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝2 OA；故正确； （4）过点O作OH⊥BC， ∵BC＝1，

11∴OH＝BC＝ ，

22

设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x， ∴

111111129

S△BEF＋S△COF＝BE﹒BF＋CF﹒OH＝x（1－x）＋（1－x）×＝－（x－）＋ ，

222222432

1

∵a＝－ ＜0，

21

∴当x＝ 时，S△BEF＋S△COF 最大；

4

1

即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝ ；故错误；

4

（5）∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°， ∴△OEG∽△OBE， ∴OE：OB＝OG：OE，

2

∴OG﹒OB＝OE ，

12

∵OB＝ BD，OE＝ EF，

22

2

∴OG﹒BD＝EF ，

222

∵在△BEF中，EF＝BE＋BF ，

222∴EF＝AE＋CF ，

22

∴OG﹒BD＝AE＋CF ．故正确． 故答案为：（1），（2），（3），（5）．

同类题型4.4 如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP， E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D 时，点G移动的路径长为 _____________．