解：如图，

设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS， ∵E为MN的中点，S为KH的中点， ∴A，E，S共线，

F为QR的中点，S为KH的中点， ∴B、F、S共线，

由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB， ∴ES∥PF，

△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP， ∴PE∥FS，

则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点， ∴G的轨迹为△CSD的中位线， ∵CD＝AB－AC－BD＝6－1－1＝4，

1

∴点G移动的路径长 ×4＝2．

2

专题07 圆的综合问题

例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（ ） A．2 B．5 C．3 ＋1 D．2 2

同类题型1.1 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：

2

①若AD＝5，BD＝2，则DE＝ ；

5

②∠ACB＝∠DCF； ③△FDA∽△FCB；

41

④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则cosF＝ ；

48

则正确的结论是（ ） A．①③ B．②③④ C．③④ D．①②④

同类题型1.2 一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：

（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．

（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示． （3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示． （4）连结AE、AF，如图（5）所示． 经过以上操作小芳得到了以下结论：

①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF ：S圆＝3 3：4π， 以上结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以42 为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．

同类题型2.1 如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB1

于点M，OM＝ ，则sin∠CBD的值等于（ ）

3A．

3 2

1 B．

3

2 2 C．

3

1 D．

2

同类题型2.2 如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．

同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8

例3． 如图，直线l1∥l2 ，⊙O与l1 和l2 分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1 和l2 上的动点，MN沿l1 和l2 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ） 4 3A．MN＝

3

B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3 C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1 和l2 的距离为2

同类题型3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．

同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4 3 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12

同类题型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为

ab 的是（ ） a＋bA． B． C． D． 例4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则 的值为______________．

EFGH

同类题型4.1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是_______________．