在△QOC中，OC＝OM， ∴∠OMC＝∠OCP， 在△OPM中，MP＝MO， ∴∠MOP＝∠MPO， 又∵∠AOC＝30°，
∴∠MPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°， 在△OPM中，∠MOP＋∠MPO＋∠OMC＝180°，
即（∠OCP＋30°）＋（∠OCP＋30°）＋∠OCP＝180°， 整理得，3∠OCP＝120°， ∴∠OCP＝40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2） ∵OC＝OM，
1
∴∠OMP=（180°-∠MOC）× ①，
2
∵OM＝PM，
1
∴∠OPM=（180°-∠OMP）× ②，
2
在△OMP中，30°＋∠MOC＋∠OMP＋∠OPM＝180°③， 把①②代入③得∠MOC＝20°，则∠OMP＝80° ∴∠OCP＝100°；
③当P在线段OA的反向延长线上（如图3）， ∵OC＝OM，
1
∴∠OCP=∠OMC=（180°-∠COM）× ①，
2
∵OM＝PM，
1
∴∠P＝（180°－∠OMP）× ②，
2
∵∠AOC＝30°，
∴∠COM＋∠POM＝150°③，
∵∠P＝∠POM，2∠P＝∠OCP＝∠OMC④， ①②③④联立得 ∠P＝10°，
∴∠OCP＝180°－150°－10°＝20°． 故答案为：40°、20°、100°．
同类题型2.3 如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
解：如图，连接AE，则∠AED＝∠BEA＝90°，
∴点E在以AB为直径的⊙Q上， ∵AB＝10， ∴QA＝QB＝5，
当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短）， 而QE长度不变，故此时CE最小， ∵AC＝12，
22
∴QC＝AQ＋AC ＝13， ∴CE＝QC－QE＝13－5＝8， 选D．
例3． 如图，直线l1∥l2 ，⊙O与l1 和l2 分别相切于点A和点B．点M和点N分别是l1 和l2 上的动点，MN沿l1 和l2 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
4 3
A．MN＝
3 B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 3 C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切 D．l1 和l2 的距离为2
43
解：A、平移MN使点B与N重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得MN＝ ，正确；
3
B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM＝3 或C、若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，
3
，错误； 3
故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径．正确； D、l1∥l2 ，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确． 选B．
同类题型3.1 如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．
解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大． 连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD， ∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL）， ∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
2
∴DE ＝EF﹒OE， ∵CF＝1，
∴DE＝x(x＋2) ， ∵△CDE∽△AOE， ∴＝ ，
1x＋1即＝ ， 22＋x(x＋2)
CDCEAOAE
2
解得x＝ ，
3
2
2×(＋1＋2)
3BE×AO11
S△ABE＝＝＝ ．
223
同类题型3.2 我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y＝kx＋4 3 与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12
解：∵直线l：y＝kx＋43 与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4gh(3) ）， ∴OB＝43 ，
在RT△AOB中，∠OAB＝30°， ∴OA＝3OB＝3×43 ＝12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
1
∴PM＝ PA，
2
设P（x，0）， ∴PA＝12－x，
11
∴⊙P的半径PM＝PA＝6－ x，
22
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数， ∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6． 故选：A．
同类题型3.3 已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为
ab 的是（ ） a＋bA． B．解：设⊙O的半径为r，
C． D．