d =
|Ax0?By0?Cz0?D|A?B?C222
例1 求平面x?2y?2z?6?0和平面4x?y?8z?8?0的交角平分面方程。
|x?2y?2z?6|1?2?222平分面上的点到两面之间距离相等，故?|4x?y?8z?8|4?1?8222
整理得：x?7y?14x?26?0或7x?5y?2z?10?0
例2 求平行于平面x?y?z?9且与球面x2?y2?z2?4相切的平面方程。 解 由于所求平面与x?y?z?9平行，故可设其为?:x?y?z?D?0。 因为?与球面x?y?z?4相切，所以球心(0,0,0)到?的距离
?2，解之，D??23，故所求平面方程为
222|0?0?0?D|1?1?1222 x?y?z?23?0和x?y?z?23?0
2． 点到直线的距离
点M1到直线L的距离为 d?
例3 求点M0(3,?4,4)到直线
?|M0M1?s||s|?y?5?22
z?212x?422?的距离。
解 M0M?(1,9,?2)，|s|??2?(?2)?1?3，于是所求距离
d?|M0M?s||s|?|5i?5j?20k|3?51?1?163?52
3. 两平面之间的夹角
|A1A2?B1B2?C1C2|A?B?C212121平面?1和平面?2的夹角?,cos?＝
A?B?C222222
?1、?2互相垂直相当于A1A2?B1B2?C1C2＝0；
?1、?2互相平行或重合相当于
A1A2?B1B2?C1C2.
4．两直线的夹角
两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.
5
直线L1和L2的夹角?cos?=
|m1m2?n1n2?p1p2|m?n?p212121m?n?p222222 (5)
两直线L1、L2互相垂直相当于m1m2?n1n2?p1p2＝0； 两直线L1、L2互相平行或重合相当于
m1m2?n1n2?p1p2.
5. 直线与平面的夹角
直线s=(m，n，p)，平面n＝（A，B，C）夹角为?
sin?＝
|Am?Mn?Cp|A?B?C222m?n?p222
直线垂直于平相当于
Am?Bn?Cp；
直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0. 6．平面束
?A1x?B1y?C1z?D1?0,过直线L??A2x?B2y?C2z?D2?0(11)(12)的平面束方程为
A1x?B1y?C1z?D1??(A2x?B2y?C2z?D2)?0
例1 求直线l:x?23?x?y1?z?12在平面?:2x?3y?3z?8?0上的投影直线的
方程。
?x?3y?4?0解 直线l的方程即为?，故过l的平面束方程为
2x?3z?1?0?
x?3y?4??(2x?3z?1)?0
即 (1?2?)x?3y?3?z???4?0
因为此平面与平面?垂直，故有
解得
??
115(1?2?,3,?3?)?(2,3,3)?11?5??0
，于是与2x?3y?3z?8?0垂直的平面方程为
225)x?3y?335z?115?4?0
(1?即9x?5y?11z?3?0，从而所求投影直线方程为?
6
?9x?5y?11z?3?0?2x?3y?3z?8?0
5.4其它（旋转曲面方程）
?f(y,z) ?x?0?绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入
故绕z轴旋转，y??x?y，得f(?x?y,z)?0为旋转曲面方程。
2?x2z222222xy?zx?yz?2?2?1例1 ?a绕x轴转得2??1，绕z轴转得?2?1。 c22acac?y?0?2222例2 曲线x?x(t),y?y(t),z?z(t)绕z轴旋转，求旋转曲面方程。
解 绕z轴旋转时，x?y?x(t0)?y(t0)，z?z(t0)，t0?t(z)，代入上式得
x32222?1x?y?x(t(z))?y(t(z)) ?y2?2222?12?1例3 求
z6 绕z轴旋转所得旋转曲面方程。
222解 承上题：x?y?x(t0)?y(t0)，令
132?z?222则x?y?13t?13????z
636??2x3?y2?z6?t，x?3t，y?2t，z?6t
例4 求直线l:x?11?y1?z?1?1在平面?:x?y?2z?1?0上的投影直线l0的方程，
并求l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程。 解 将直线l改写为??x?y??1?0?y?z?1?0，所以经过l的平面方程可设为
x?y?z??(y?z?1)?0，即x?(??1)y??z?(1??)?0。
由于它与平面?垂直，故有1?(??1)?2??0，解得???2。于是经过l且垂直于??x?y?2z?1?0?x?3y?2z?1?0的平面方程为x?3y?2z?1?0。从而l0的方程为?
?x化为参数方程为
?2yy?yz??12(y?1)
7
于是l0绕y轴旋转一周生成的曲面方程为 即
22x?z?4y?222214(y?1)
24x?17y?4z?2y?1?0。
8