基于根轨迹法的串联校正

注意：

1）一般了解根轨迹校正方法。若指标为时域指标采用；

方法简单，容易理解；虽然计算均为代数计算，但是太繁杂，一般不采

用。

2）重点掌握频率法的串联校正。若指标为频域指标采用。

例5 已知待校正系统的单位反馈系统的开环传递函数为

G0(s)?K

s(0.5s?1)试设计串联校正环节Gc(s)，使得校正后系统 1) 静态速度误差系数Kv?50s?1； 2) 超调量?%?25%； 3) 调节时间ts?2s。 解：1) 求取主导极点位置

????1??2由?%?e?100%?20%，得??0.4，这里取??0.5。

4取??0.02，由ts???n?2，得?n?4，这里取?n?4。

2则闭环主导极点s1,2????n?j?n1????2?j23。

2）将系统传递函数化成零极点形式：G0(s)?K2K?

s(0.5s?1)s(s?2)??(s1?0)??(s1?2)???(?2?j23?0)??(?2?j23?2)??300?(2l?1)?,l?0,?1,?2?

不满足则进行动态校正。

3） 动态校正——相当于频率法中超前校正

-----------------------------------------------------以下是讨论--------------------------------------- -设校正装置Gcc(s)?kc12Kkc1(s?zc1)(s?zc1)'，则此时G(s)?。

s(s?2)(s?pc1)s?pc1注意：校正前系统阶数为2，现在系统阶数为3。因此，会出现两种情况：

A: 校正后系统的阶数不变。——加入的校正装置后系统的一个极点会与一个零点相互抵消。

这里令s?zc1?s?2（为什么不s?zc1?s?pc1，那就白加校正装置了） 则zc1??2，此时，G(s)?'2Kkc1阶数不变。

s(s?pc1)D'(s)?s(s?pc1)?2Kkc1?(s?s1)(s?s2)?s2?4s?16（校正后系统特征多项式与期望特

征多项式相等）

84(s?2)(0.5s?1)??pc1?4?pc1??4KK则?，则?，则Gcc(s)? ?2Kk?162Kk?16s?40.25s?1c1c1??结论：如果校正后系统的阶次要保持不变，就要选择一个极点与零点抵消，如果原系统极点很多，则选择哪一个呢？选择离虚轴较近的极点（远则作用小，消了作用也不大）

B校正后系统的阶数升高。——如果升高，系统除s1,2??2?j23外会多出来一个极点s3。 此时，G'(s)?2Kkc1(s?zc1)。

s(s?2)(s?pc1)对于单位负反馈来说，

D'(s)?s(s?2)(s?pc1)?2Kkc1(s?zc1)?(s?s1)(s?s2)(s?s3)

因为s1,2??2?j23为闭环主导极点，另外一个极点呢？则有2种可能：

a):|s3|?5Re|s1|，例如，此时，取s3??14，则

D'(s)?s(s?2)(s?pc1)?2Kkc1(s?zc1)?(s2?4s?16)(s?14)，可以求出zc1，pc1

207?2Kkc1?40(s?5.6)(0.18s?1)?KK ?pc1??16，则此时，Gcc(s)? ?s?160.0625s?1?z??5.6?c1b):s3与G(s)?'2Kkc1(s?zc1)的某零点成为偶极子，例如，此时，设s3?0.99zc1（s3与

s(s?2)(s?pc1)zc1离的很近，可以作用抵消或者设zc1?0.99s3）

则D(s)?s(s?2)(s?pc1)?2Kkc1(s?zc1)?(s?s1)(s?s2)(s?s3)?(s?4s?16)(s?s3) 合并同类项，得

'2?2Kkc1?15.84?2?pc1?4?0.99zc1?? ?2Kkc1?2pc1?16?3.96zc1，则 ?pc1??3.92 。

?z??1.94?2Kkc1zc1?15.84zc1?c1?7.92(s?1.94)K则此时，Gcc(s)? s?3.92可见，校正后系统的阶数升高，按特征多项式相等求解很烦琐，容易因计算精

度而出现计算错误。

结论：动态校正一般按照校正后系统的阶数不变计算。此时，选择一个原系统中离虚轴较近的极点与校正装置的零点抵消。

-----------------------------------------------------以上是讨论----------------------------------------

3） 动态校正——相当于频率法中超前校正

实际校正中的动态校正只是采用校正后系统的阶数不变的情况，即 实际步骤这里令s?zc1?s?2，则zc1??2，即设校正装置Gcc(s)?kc1(s?2)，此时，s?pc1G'(s)?2Kkc1阶数不变。

s(s?pc1)D'(s)?s(s?pc1)?2Kkc1?(s?s1)(s?s2)?s2?4s?16（校正后系统特征多项式与期望特

征多项式相等）

84(s?2)(0.5s?1)??pc1?4?pc1??4则?，则?，则Gcc(s)?K ?Ks?40.25s?1?2Kkc1?16?2Kkc1?16则校正后系统为G(s)?'164?，则校正后系统的Kv0?4。

s(s?4)s(0.25s?1)结论：如果校正后系统的阶次要保持不变，就要选择一个极点与零点抵消，如果原系统极点很多，则选择哪一个呢？选择离虚轴较近的极点（远则作用小，消了作用也不大）

问题：kc1怎么求？用kc1?8/K，只要知道原来系统 K ，就知道了kc1。

特别注意：原系统的K可以随便取值（这一点不同于基于频率分析法的校正，因为该法开始按照稳态性能要求设计了原系统的K，这一K即是校正后系统的K），这是因为后面有开环增益校正。

4)开环增益校正。——相当于频率法中的滞后校正。

s?zc2设Gcz(s)?

s?pc2原来系统的Kv0?4，因此，??取 zc2?Kv50??12.5。 Kv04z?0.2?2??0.2??0.016，则Gcz(s)?s?0.2?12.55s?1，可见是，pc2?c2?10?12.5s?0.01662.5s?1个滞后校正。

5) 检验设计结果；检验是否满足闭环主导极点条件，是否满足开环增益要求。

G(s)?G'(s)Gcz(s)?Gcz(s)Gcc(s)G0(s)?16(s?0.2)50(5s?1)?

s(s?4)(s?0.016)s(0.25s?1)(62.5s?1)可见，开环增益显然满足要求。这里关键要验证求出的闭环主导极点是否是真正的闭环主导极点，如果是，则所有的动态性能指标满足，因为闭环主导极点是从动态性能指标求出