|cn2A/| 2A/52A/3π 2A/φn π π/ω0 3ω0 5ω-5-3ω0 -ω0 2 2A/32A/5ω 0

π -5ω -3ω-ω0 0π

0

0 π 0 ω ω ω0 π3ω5ω0

周期方波复指数函数形式频谱图

-π/2 相频图

幅频图

1-2 求正弦信号x(t)?x0sinωt的绝对均值μx和均方根值xrms。

2x1T1T解答：μx??x(t)dt??x0sinωtdt?0T0T0T?T20T2x04x02x02?sinωtdt??cosωt0?

TωTωπ

1-3 求指数函数x(t)?Ae?at(a?0,t?0)的频谱。

解答：

φ(f) 0 0

f f

-π/2 单边指数衰减信号频谱图

1-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。

sgn(t) 1 0 -1

图1-25 题1-4图

a)符号函数的频谱

1 t 0 t t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。

该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。

可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求

此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。

1

φ(0

t

0

f) 0 π/2 f f 符号函数频谱

x1(t)?e?atsgn(t)符号函数

b)阶跃函数频谱

在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。

阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。

解法1：利用符号函数

结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。

φ(f) 0 0

π/2 f f

单位阶跃信号频谱

解法2：利用冲激函数

x(t) 1 根据傅里叶变换的积分特性

1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。

??cosω0tx(t)????0t?Tt?T-T 0 T t w(t)

1

-T

0

图1-26 被截断的余弦函数

T t

解：x(t)?w(t)cos(2?f0t)

w(t)为矩形脉冲信号

11w(t)ej2?f0t?w(t)e?j2?f0t 22所以x(t)?根据频移特性和叠加性得：

可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时

谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

X(f) T -f0 被截断的余弦函数频谱

f0 f

1-6 求指数衰减信号x(t)?e?atsinω0t的频谱

x(t) 指数衰减信号

解答：

所以x(t)?e?at1j?0t?j?0te?e 2j??

单边指数衰减信号x1(t)?e?at(a?0,t?0)的频谱密度函数为

根据频移特性和叠加性得：

X(ω) φ(π ω) 0 ω -0 ω 指数衰减信号的频谱图 π

1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cosω0t(ω0?ωm)。

在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号

f(t)cosω0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0?ωm时将会出现什么

情况？