第五章 信号处理初步

5-1 求h(t)的自相关函数。

解：这是一种能量有限的确定性信号，所以

5-2 假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为

x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2)

求该信号的自相关函数。

解：设x1(t)=A1cos(?1t+?1)；x2(t)= A2cos(?2t+?2)，则

因为?1??2，所以Rx1x2(?)?0，Rx2x1(?)?0。 又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以

A22cos(?2?) 同理可求得Rx1(?)?2A12A22cos(?1?)?cos(?2?) 所以Rx(?)?Rx1(?)?Rx2(?)?225-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。

解法1：按方波分段积分直接计算。

解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。

1T1T?4?Rxy(?)??x(t)y(t??)dt??sin(?t)???cos(?t???)dtT0T0???4T1???sin(?t??t???)?sin(?t??t???)?dt?0?T2所以

T2?T??sin(2?t???)dt??sin(??)dt???0?0??T?22???0?Tsin(??)??sin(??)?T?解法3：直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。

T43T4T??43T??4 参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数

5-4 某一系统的输人信号为x(t)（见图5-25），若输出y(t)与输入x(t)相同，输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T)，试说明该系统起什么作用？

解：因为Rx(?)=Rxy(?+T)

1T1Tx(t)x(t??)dt?limx(t)y(t???T)dt

T??T?0T??T?0所以lim所以x(t+?)=y(t+?+T)

令t1 = t+?+T，代入上式得

x(t1 - T)=y(t1)，即y(t) = x(t - T)

结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。

5-5 试根据一个信号的自相关函数图形，讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。

解：设信号x(t)的均值为?x，x1(t)是x(t)减去均值后的分量，则

x(t) = ?x + x1(t)

如果x1(t)不含周期分量，则limRx1(?)?0，所以此时limRx(?)??x2；如果x(t)含周期分量，

??????则Rx(?)中必含有同频率的周期分量；如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量，则Rx(?)中必含有同频率的简谐周期分量，且该简谐周期分量的幅值为x02/2；

根据以上分析结论，便可由自相关函数图中确定均值（即常值分量）和周期分量的周

???期及幅值，参见下面的图。例如：如果limRx(?)?C，则?x??C。

Rx(?) ?x2+ ?x2 ?x2 0 ? ?x2- ?x2 自相关函数的性质图示

x0220 含有简谐周期分量的自相关函数的图

5-6 已知信号的自相关函数为Acos??，请确定该信号的均方值?x2和均方根值xrms。

解：Rx(?)=Acos??

?x2= Rx(0)=A