丰富丰富纷纷第三课 平面向量
[核心速填]
1．向量的运算
→→→→→→
(1)加法：①OA＋AB＝OB，②若四边形OABC为平行四边形，则OA＋OC＝OB. →→→
(2)减法：OA－OB＝BA. (3)数乘：|λa|＝|λ||a|.
(4)数量积：a·b＝|a||b|cos θ(a与b的夹角为θ)． 2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b?a＝λb(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 4．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x＋y. →
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
2
2
x2－x1
2
＋y2－y1
2
.
a·bx1x2＋y1y2
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝2. 22
|a||b|x1＋y1x22＋y2
[体系构建]
1
丰富丰富纷纷[题型探究]
平面向量的线性运算 →
(1)平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC＝
→1→1→
BC，连接DC延长至E，使|CE|＝|ED|，则点E的坐标为________． 24
图2-1
→→→→→
(2)如图2-1，在正五边形ABCDE中，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，求作向量a－c＋b－d－e. 【导学号：84352275】
→1→?8?(1)?，－7? [(1)∵AC＝BC，
2?3?→→1→→
∴OC－OA＝(OC－OB)．
2→→→
∴OC＝2OA－OB＝(3，－6)， ∴点C坐标为(3，－6)．
→1→
由|CE|＝|ED|，且E在DC的延长线上，
4→1→
∴CE＝－ED.设E(x，y)，
4
1
则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
41
x－3＝－1＋x，??4得?31
y＋6＝＋y，??448??x＝，解得?3
??y＝－7，
?8?即E?，－7?.
?3?
(2)a－c＋b－d－e ＝(a＋b)－(c＋d＋e) →→→→→
＝(AB＋BC)－(CD＋DE＋EA)
2
丰富丰富纷纷→→→→＝AC－CA＝AC＋AC.
→→→→→
如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则CF＝AC，所以AF＝AC＋AC，即为所求作的向量a－c＋b－d－e.]
→→→
[规律方法] 1.向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即AB＋BC＝AC. 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．
2．向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．
几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．
3．数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． [跟踪训练]
→1→→→2→
1．如图2-2所示，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实
311数m的值为________．
图2-2
→→3
[设BP＝λBN， 11
→→→→→2→→2→则BP＝BA＋AP＝－AB＋mAB＋AC＝(m－1)AB＋AC.
1111→
BN＝BA＋AN＝－AB＋AC.
→→12
∵BP与BN共线，∴(m－1)＋＝0，
4113
∴m＝.] 11
→→
→1→
4
平面向量数量积的运算 →→
(1)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，则向量AB在CD方向上的
投影为( )
32A．
2
315B．
2
3