圆锥曲线综合

【考点导读】 1.

在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题. 2.

通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.

3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题. 【基础练习】

1. 给出下列四个结论： ①当a为任意实数时，直线(a?1)x?y?2a?1?0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是

x2?4y； 3x2y2??1； ②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x?y?0，则双曲线的标准方程是

520③抛物线

y?ax2(a?0)的准线方程为y??1； 4ax2y2??1，其离心率e?(1,2)，则m的取值范围是（－12，0）④已知双曲线。 4m其中所有正确结论的个数是4

x2y21??1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为? 2.设双曲线以椭圆

2592x2y2??1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是x?2y?8?0 3.如果椭圆

369【范例导析】

uuuruuur例1. 已知抛物线x?4y的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且AF??FB(??0).过A、B两点分别作抛物线

2的切线，设其交点为M。

uuuuruuur（I）证明FM.AB为定值；

（II）设

2?x12???x2x,解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为?x1, B点的坐标为??2?

44?????ABM的面积为S，写出S?f(?)的表达式，并求S的最小值。

2uuuruuur??x2?x12?由AF??FB(??0).可得??x1,1???x,?1??2?

4?4?????x1??x2?22?xx12因此1???(?1) ??44x12x1?(x?x1) (1) 过A点的切线方程为y?422x2x?2(x?x2) (2) 过B点的切线方程为y?42uuuuruuur解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到FMgAB=0 即为定值

uuuuruuuruuuuruuurFMgAB（2）FMgAB=0可得FM?AB三角形面积S?f(?)?2FM???1,AB?(??1)2

??所以S?f(?)?FMgAB11313?(??)??2?4

222?当且仅当

??1时取等号

点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点 涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大

【反馈练习】

1.已知双曲线的中心在原点，离心率为

3.若它的一条准线与抛物线y2?4x的准线重合，则该双曲线与抛物线

y2?4x的交点到原点的距离是21

F1，F22.设分别是双曲线

y2x??1的左、右焦点．若点P92在双曲线上，且

uuuruuuurPF1gPF2?0，则

uuuruuuurPF1?PF2?210 x2y21??1上一点，F1、 F2是椭圆的两个焦点，则cos?F1PF2的最小值是? 3.设P是椭圆9494.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线

x?3y?4?0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为27

26x2y2x ??1的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是y??5. 双曲线C与椭圆

54924x2y2x2y2??1与双曲线??1在第一象限内的交点为P，则点P到椭圆右焦点的距离等于__2 _ 6.已知椭圆

25997x2y2?2?1(a?b?0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，7.如图，点A是椭圆C：2ab点P在y轴上，且BP∥x轴，

AB?AP＝9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.

y P O A B x

8.在平面直角坐标系

xoy中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y?x相切于坐标原点O．椭圆

x2y2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．求圆C的方程. a29解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)+(y-n)=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

2

2

m?n2即

=2

2

m?n=4 ①

2

又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m+n=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得

2

?m??2 ??n?2故圆的方程为(x+2)+(y-2)=8

2

2

9.已知动圆过定点?p?p?,0?，且与直线x??相切，其中p?0,求动圆圆心C的轨迹的方程.

2?2?