学而思中考数学.三角形.尖子班.学生版 下载本文

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中考第一轮复习

三角形

考试内容 中考大纲剖析

A

考试要求层次 B 会用尺规作给定条件的三角形;掌握三角形内角和定理及推论;会按要求解决三角形的边、角的计算问题;能用三角形的内心、外心的知识解决 简单问题;会证明三角形的中位线定理,并会应用三角形中位线性质解决有关问题 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题 会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题 C 三角形 了解三角形的有关概念;了解三角形的稳定性;会按边和角对三角形进行分类;理解三角形的内角和、外角和及三边关系;会画三角形的主要线段;知道三角形的内心、外心和重心 了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念,会识别这三种图形;理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定 等腰三角形和直角三角形 全等三角形 勾股定理及其逆定理 相似三角形 了解全等三角形的概念,掌握两个三角形全等的条件和性了解相似三角形与全等三角质;会应用全等三角形的性质与判定形之间的关系 解决有关问题 已知直角三角形的两边长,会求第三边长 了解两个三角形相似的概念 了解锐角三角函数cosA,tanA);(sinA,会用勾股定理及其逆定理解决简单问题 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题 由某个角的一个三角函数值,会求这个角的其余两个三角函数值;会计算含有 30?,45?,60?角的三角函数式的值 会解直角三角形;能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形;会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 锐角三角函数 45?,60?角的三知道30?,角函数值 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题

本讲结构

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一、等腰三角形

①等腰三角形的两大特性. A AEFDCBHDCFCH=DE-DF图形 aaEBHCH=DE+DF 特性 “等腰三角形中的三线合一” “底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系”

②构造等腰三角形. “垂直平分线造等腰”

③特殊等腰三角形. “平行线加角平分线” “平行线截等腰三角形” “圆构造等腰” 图形 60°60°60° 45°30°30° 1∶∶12 1∶∶13 36°36°72°72°

1∶∶15?1 2三边之比 1∶1∶1 1∶∶15?1 2

二、直角三角形

1.直角三角形的边角关系.

①.直角三角形的两锐角互余. ②.三边满足勾股定理. ③.边角间满足锐角三角函数.

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2.特殊直角三角形

60° “等腰直角三角形” “含30?和60?的直角三角形” 45°边的比:1∶∶12

3.直角三角形中的特殊线. adcb边的比:1∶3∶2 a hcb“直角三角形斜边中线d?c” 2 ab“直角三角形斜边高h?” c

三.尺规构造等腰三角形和直角三角形 问题 等腰三角形 直角三角形 A 作图 求点坐标 “万能法” 其他方法 作等腰三角形底边的高,用BAlB分别表示出点A、B、P的 AP1P2P3P4P5l坐标,再表示出线段AB、 已知点A、B和直线l,在l上求点P,使BP、AP的长度,由①AB=AP 勾股或相②AB=BP ③BP=AP列方程解出坐标 分别表示出点A、B、P的似建立等量关系 △PAB为等腰三角形 Bl“两圆一垂” B坐标,再表示出线段AB、BP、AP的长度,由 作垂线,用勾股或相似建立等量关系 已知点A、B和直线l,在l上求点P,使lAP1P2P3P4 ①AB?BP?AP ②BP?AB?AP ③AP?AB?BP 列方程解出坐标 222222222△PAB为直角三角形 “两垂一圆” 四.全等三角形

全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 全等三角形的判定:⑴SSS;⑵SAS;⑶ASA;⑷AAS;⑸HL.

在证明图形的线或角关系时,通常需要将全等与图形变换(旋转、平移、轴对称等)相结合.

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五.相似三角形

相似三角形的性质:

⑴ 相似三角形的对应角相等,对应边成比例,其比值称为相似比.

⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 相似三角形的判定:

⑴ 平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似; ⑵ 两角对应相等,两三角形相似;

⑶ 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; ⑷ 三边对应成比例,两三角形相似. 相似三角形的基本模型:

ADEEDADBCBADAAEDB(1)DAECB(3)ACCB(6)CAD(4)

AEEEBABC(10)DEBC(2)

B(5)C

BC(8)DC(9)D

模块一 特殊三角形

夯实基础

B【例1】 (1)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是

两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的 个数是( ) AA.6 B.7 C.8 D.9

10),(2)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(4,点C在y轴上,且△ABC

是直角三角形,则满足条件的C点的坐标为 .

(3)如图所示,在△ABC中,BC=6,E,F分别是AB,AC的中点,点P

在射线EF上,BP交CE于D,点Q在CE上且BQ平分∠CBP,设

1CE时,y与x之间的函数关系式21是 ; 当CQ=CE(n为不小于2的常数)时, y与

nBP=y,PE=x.当CQ=

x之间的函数关系式是 .

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?B??ACB,(4)已知:如图,在△ABC中,点D在AB边上,点 E在AC边的延长线上,且BD?CE,

连接DE交BC于F. B求证:DF?EF. DFEA

C

【例2】 (1)如图,正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的

两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿 图中所示方向按A?B?C?D?A滑动到点A为止,同时点 F从点B出发,沿图中所示方向按B?C?D?A?B滑动到 点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线围 成的图形的面积为( )

A. 2 B. 4-? C.? D.??1

(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x

轴、y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动, 在 运动过程中,点B到原点的最大距离是( )

能力提升

AQMBCF 第8题图D yCBA. 22?2 B.25 C.26 D. 6

以下探究主题为:几何最值问题

【探究1】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点A、C分别在x 轴、

y轴上,当点A在x轴上运动时,点C随之在y轴上运动,在运动过程 中,点B到原点的最小距离是__________.

1【探究2】如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,tan?BAC?,BC=6,点D

22AD?AC,连结BD,F为BD中点,将线段AD绕 在边AC上,且

3点A旋转,在旋转过程中线段CF长度的最大值为________,最小值 为_______.

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