第五讲 一元二次方程的整数整数解

在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；

从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=k2)，通过穷举，逼近求解；

从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；

从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．

注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】

【例1】若关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有 个．

思路点拨 用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．

注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．

【例2】 已知a、b为质数且是方程x2?13x?c?0的根，那么 A．

127125123121 B． C． D． 22222222ba?的值是( ) ab思路点拨 由韦达定理a、b的关系式，结合整数性质求出a、b、c的值．

【例3】 试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2?(r?2)x?r?1?0有根且只有整数根．

思路点拨 由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r?0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】

当m为整数时，关于x的方程(2m?1)x2?(2m?1)x?1?0是否有有理根?如果有，

求出m的值；如果没有，请说明理由．

思路点拨 整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．

设△=(2m?1)2?4(2m?1)?4m2?4m?5?(2m?1)2?4?n2(n为整数)解不定方程，讨论m的

存在性．

注：一元二次方程ax2?bx?c?0 (a≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2?4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．

【例5】 若关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?13)?0至少有一个整数根，求非负整数a的值． 思路点拨 因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程．

学历训练 1．已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有 ． 2．已知方程x2?1999x?m?0有两个质数解，则m＝ ．

3．给出四个命题：①整系数方程ax2?bx?c?0(a≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2?bx?c?0(a≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2?bx?c?0(a≠0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2?bx?c?0没有有理数根，其中真命题是 ．

4．已知关于x的一元二次方程x2?(2a?1)x?a2?0 (a为整数)的两个实数根是x1 、x2，则x1?x2= ．

5．设rn为整数，且4

6．已知方程ax2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0 (a≠0)至少有一个整数根，求a的值． 7．求使关于x的方程kx2?(k?1)x?k?1?0的根都是整数的k值．

8．当n为正整数时，关于x的方程2x2?8nx?10x?n2?35n?76?0的两根均为质数，试解此方程．

9．设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值．

10．试求所有这样的正整数a，使得方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数解．

11．已知p为质数，使二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，求出p的所有可能值．

?、x2?，且12．已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1、x2及x1?x2? >0． x1x2 >0，x1?<0,x2?< 0； (1)求证：x1<0,x2<0，x1(2)求证：b?1?c?b?1；

(3)求b、c所有可能的值．

13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2?2x?m?1?0的根(m为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．

参考答案