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第四章圆与方程知识点与习题
★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M（x,y）为⊙A上任意一点，则圆的集合可以写作：P={M||MA|=r}
★2、圆的方程 （1）标准方程
22
x，圆心a,b，半径为r；
a
222 点M(x0,y0)与圆
(xa)(yb)r的位置关系：
当 当
22
(xa)(yb)> 00
22
(xa)(yb)< 00 2yDxEyF
2
（2）一般方程x0
（x+D/2)D）
2
2
2
2
2ybr
2
r，点在圆外;当 2
r，点在圆内;
22
(xa)(yb)= 00
2 r，点在圆上
+(y+E/2)=(D+E-4F)/4（2E4F0
2
DE，半径为rDE4F , 22
122
当
2EF D40
2
时，方程表示圆，此时圆心为
2
2EF
当
2
D40
时，表示一个点；
2
2EF
当D40时，方程不表示任何图形。 （3）求圆的方程的方法：
待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F； 直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。 ★3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
222
（1）设直线l:AxByC0，圆C:xaybr，圆心Ca,b到l的距离为
则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交
AaBbC
d，
2B
A
2
（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，
①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；
②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）
222 ，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)+(y-b)=r
2
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r
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两圆的位置关系判断条件
外离ｄ＞ｒ1+ｒ24条
外切ｄ＝ｒ1+ｒ23条
相交|ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ22条 内切ｄ＝|ｒ1-ｒ2|1条
公切线
条数
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内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条
★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
222222
C1:xaybr，C2:xaybR设圆
1122
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
222 ★5、.圆C1：x +D1x+E1y+F1=0圆C2：x
1：x +y+D2x+E2y+F2=0 2
+y
联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一次方程 ①若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程；
②若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程；
③若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立） ★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度
①代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）
★7、已知两圆相交，求公共弦的长度
①代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长 ③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理） ★8、圆系与圆系方程
(1)圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 (2)圆系方程：
2
+y+D1x+E1y+F1=0圆C2：x+y+D2x+E2y+F2=0
222
圆C1：x
2222
圆系方程：x+y+D1x+E1y+F1+λ(x+y+D2x+E2y+F2)=0（Ⅰ）
①若圆C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（Ⅰ）代表过P1、P
2两点的圆的方程。
②若圆C1与圆C2交于P点（一个点），则方程（Ⅰ）代表过P点的圆的方程。 ★9、直线与圆的方程的应用
用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数 问题；
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