2019最新高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念及简单表示法学案5 下载本文

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第1课时 数列的概念及简单表示法

学习目标:1.理解数列的概念(重点).2.掌握数列的通项公式及应用(重点).3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点).

[自 主 预 习·探 新 知]

1.数列的概念及一般形式

思考1:(1)数列的项和它的项数是否相同?

(2)数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别?

[提示] (1)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n.(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列,因为二者的元素顺序不同,而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同,一方面形式上不一致,另一方面,集合中的元素具有无序性.

2.数列的分类

按项的 个数 类别 有穷数列 无穷数列 递增数列 含义 项数有限的数列 项数无限的数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 按项的 变化趋 势 递减数列 常数列 摆动数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4.数列与函数的关系

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从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表: 定义域 解析式 值域 表示方法 正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 数列的通项公式 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 (1)通项公式(解析法);(2)列表法;(3)图象法 +思考:数列的通项公式an=f(n)与函数解析式y=f(x)有什么异同? [提示] 如图,数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数,an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定义域,数列中的n必须是从1开始且连续的正整数,函数的定义域可以是任意非空数集.

[基础自测]

1.思考辨析

(1)数列1,1,1,…是无穷数列.( )

(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列.( ) (3)有些数列没有通项公式.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√

提示:(1)正确.每项都为1的常数列,有无穷多项.

(2)错误.虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列,但是两个数列中后两个数顺序不同,不是同一个数列.

(3)正确.某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式,这个数列就有通项公式,否则,不能建立一个函数关系式,这个数列就没有通项公式.

2.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项. 24 [an=n(n+1)=600=24×25,所以n=24.]

3.数列{an}满足an=log2(n+3)-2,则log23是这个数列的第________项.

【导学号:91432112】

3 [令an=log2(n+3)-2=log23,解得n=3.]

4.数列1,2, 7,10,13,…中的第26项为________. 219 [因为a1=1=1,a2=2=4,

2

2

*

a3=7,a4=10,a5=13,所以an=3n-2,

所以a26=3×26-2=76=219.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

数列的概念及分类

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已知下列数列:

①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016; 111

②1,,,…,n-1,…;

242

23-·n③1,-,,…,,…;

352n-1④1,0,-1,…,sin

n-1

2

,…;

⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1.

其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________(填序号).

①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ [①为有穷数列且为递增数列;②为无穷、递减数列;③为无穷、摆动数列;④是摆动数列,是无穷数列,也是周期为4的周期数列;⑤为递增数列,也是无穷数列;⑥为有穷数列,也是常数列.]

[规律方法] 1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项的性质具有以下特点: (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性; (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性); (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性); (4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物. 2.判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析;而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限. [跟踪训练] 1.给出下列数列: (1)2010~2017

年某市普通高中生人数(单位:万人)构成数列

82,93,105,118,132,147,163,180.

(2)无穷多个3构成数列3, 3, 3, 3,….

(3)-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列-2,4,-8,16,-32,…. 其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,常数列是________,摆动数列是________.

【导学号:91432113】

(1) (2)(3) (1) (2) (3) [(1)为有穷数列;(2)(3)是无穷数列,同时(1)也是递增数列;(2)为常数列;(3)为摆动数列.]

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