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2018高三数学(理)一模考试题(潍坊市含答案)

2018高三数学(理)一模考试题(潍坊市含答案) 山东省潍坊市2018届高三下学期一模考试 数学(理)试题 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 2.已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 3.若函数 ( 且 )在 上为减函数,则函数 的图象可以是( ) A. B. C. D. 4.已知 满足约束条件 ,则函数 的最小值为( ) A. B. C.1 D. 5. 的内角 的对边分?e为 ,已知 ,则 的面积是( ) A. B. C.1 D. 6.对于实数 ,定义一种新运算“ ”: ,其运算原理如程序框图所示,则 ( ) A.26 B.32 C.40 D.46 7.若函数 为奇函数,则 ( ) A. B. C. D.0 8.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 9.已知函数 的最小正周期为 ,其图象关于直线 对称.给出下面四个结论: ①函数 在区间 上先增后减;②将函数 的图象向右平移 个单位后得到的图象关于原点对称;③点 是函数 图象的一个对称中心;④函数 在 上的最大值为1.其中正确的是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛,决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”;乙说:“丁是第一名”;丙说:“乙是第一名”;丁说:“我不是第一名”.成绩公布后,发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 11.双曲线 的左右焦点分别为 ,过 的直线交曲线左支于 两点, 是以 为直角顶点的直角三角形,且 .若该双曲线的离心率为 ,则 ( ) A. B. C. D. 12.函数 的图象关于直线 对称,且 在 上单调递减.若 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为( )

A. B. C. D. 第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. 实数 满足 ,则 的最大值为 . 14. 展开式中 的系数为 . (用数字填写答案) 15.已知抛物线 的准线为 ,若 与圆 相交所得弦长为 ,则 . 16.正四棱柱 中,底面边长为2,侧棱 , 为上底面 上的动点,给出下列四个结论: ①若 ,

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则满足条件的 点有且只有一个; ②若 ,则点 的轨迹是一段圆弧; ③若 平面 ,则 与平面 所成角的正切的最大值为 ; ④若 平面 ,则平面 截正四棱柱 的外接球所得图形面积最大值为 . 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 公差不为0的等差数列 的前 项和为 ,已知 ,且 成等比数列. (1)求 的通项公式; (2)求数列 的前 项和 . 18.如图,直三棱柱 中, ,点 是棱 上不同于 的动点. (1)证明: ; (2)若平面 把此棱拄分成体积相等的两部分,求此时二面角 的余弦值. 19.某公司新上一条生产线,为保证新的生产线正常工作,需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品,测量产品数据,用统计方法得到样本的平均数 ,标准差 ,绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值. (1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件,记其数据为 ,依据以下不等式评判( 表示对应事件的概率): ① ② ③ 评判规则为:若至少满足以上两个不等式,则生产状况为优,无需检修;否则需检修生产线,试判断该生产线是否需要检修; (2)将数据不在 内的产品视为次品,从该生产线加工的产品中任意抽取2件,次品数记为 ,求 的分布列与数学期望 . 20.如图,椭圆 的左右焦点分别为 ,左右顶点分别为 为椭圆 上任一点(不与 重合).已知 的内切圆半径的最大值为 ,椭圆 的离心率为 . (1)求椭圆 的方程; (2)直线 过点 且垂直于 轴,延长 交 于点 ,以 为直径的圆交 于点 ,求证: 三点共线. 21.函数 . (1)求 的单调区间; (2)对 ,使 成立,求实数 的取值范围; (3)设 在 上有唯一零点,求正实数 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 )( 为参数, ),在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的直角坐标方程; (2)设点 的坐标为 ,直线 与曲线 相交于 两点,求 的值. 23.选修4-5:不等式选讲 设函数 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)已知 ,求 的取值范围.

试卷答案 一、选择题 1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12:DB 二、填空

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题 13. 14. 120 15. 16.①②③ 三、解答题 17. (1)设 的公差为 ,由题设可得, , ∴ , 解得 . ∴ . (2)令 , 则 ,① ,② ①-②得: , ∴ . 18.(1)解:在 中,由余弦定理得, , ∴ , 则有 , ∴ ,∴ , 又∵ , ∴ 平面 , 又 平面 , ∴ . (2)解:由题设知,平面把此三棱柱分成两个体积相等 的几何体为四棱锥 和四棱锥 . 由(1)知四棱 的高为 , ∵ , ∴ , 又 , ∴ ,∴ . 此时 为 中点, 以点 为坐标原点, 的方向为 轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系 . ∴ . ∴ , 设 是平面 的一个法向量, ∴ ,即 ,令 ,可得 , 设 是平面 的一个法向量, ∴ ,即 ,令 ,可得 , ∴ 。 所以二面角 的余弦值等于 . 19.解:(1)由题意知, ,由频率分布直方图得 , , , ∵不满足至少两个不等式成立,∴该生产线需检修. (2)由(1)知 , 所以任取―件是次品的概率为 , 所以任取两件产品得到的次品数 可能值为0,1,2, 则 ; ; ; ∴ 的分布列为 ∴ . 20.解:(1)由题意知: ,∴ ,又 ,∴ , 设 的内切圆半径为 , 则 , , 故当 面积最大时, 最大, 即 点位于椭圆短轴顶点时, , ∴ , 把 代入,解得 , ∴椭圆方程为 . (2)由题意知,直线 的斜率存在,设为 , 则所在直线方程为 , 联立 ,消去 ,得 , 则有 , ∴ , , 得 , 又 , ∴ , 则 , ∴ 而 在以 为直径的圆上, ∴ , ∴ 三点共线. 21.解:(1) , 当 ,即 时, 单调递增; 当 ,即 时, 单调递减; 综上, 的单调递增区间为 , 的单调递减区间为 . (2) ,即 , 设 , 则原问题等价于 , 一方面由(1)可知,当 时, , 故 在 单调递增, ∴ 另―方面: , , 由于 , ∴ , 又 , 当 , , 在 为增函数, , 所以 , . (3) , . ①若 ,则 单调递增, 无零点, ②若 时,设 , 则 , 故 单调递增,∵ , 所以存在 ,使 , 因此当 时, ,即 单调递减; 当 时, 即 单调递增. 故当 时, 无零点, 当 时, ,存在唯一零点, 综上, 时,有唯一零点. 22.解:(I )曲线 ,即 , ∵ , ∴曲线 的直角坐标方程为 即 . (2)将 代入 并整理得 , ∴ . 23.解:(1)当 时,不等式 即 , 当 时, ,∴ 或 , ∴此时, , 当 时, ,∴ 或 , ∴此时, , 当 时, ,∴ 或 此时, , ∴不等式的解集为 或 . (2) 若 则 ,∴ , 解得: 或 ,∴ , 若 则 ,∴ ,