专题16 等腰三角形的性质
例1 45°
例2 提示：过点A作∠A的平分线BD交于G，先证明△ABG≌△ACF，再证明△AGD≌△CFFD
例3 提示：延长BC，AE交于一点.、 例4 提示：如图，作BD⊥AC于D，则∠OCD=∠OAD=30°，∴∠BA0=44°－30°=14°， ∠MAO=∠OAC－∠MAC=14°，∴∠BAO=∠MAO，又∵∠AOD=∠COD=90°－30°=60°，∴∠AOB=∠AOM=120°，∴OB=OM.又∵AO=AO，∴△AOB≌△AOM 又∵∠BOM=120°，∴∠OMB=30°，故∠BMC=180°－∠OMB=150°.
例5 如图，在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，∠MDB= ∠M1DC.∴∠MDM1=120°－∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°，∵MD=MD1， ∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，故△AMN周长：AM+MN+AN=AM+AN+NM1=AM+AM1=AB+AC=2.
例6 解法1 如图a，作△ABD关于AD的轴对称图形△ADC，则∠EAD=21°，AE=AB，∴DE=BD，又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°， ∠CDE=113°－67°=56°，连CE，可证△CDE≌△ABD≌△AED，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE，又DC=AE， 则AO=CO，∠OCA=∠OAC， ∠COE=2∠ACO， ∠COE=2×46°=92°=2∠ACO.从而∠ACO=46°=∠OAC，∴∠DAE+∠EAC=67°.
解法2 如图b，过A点作AE∥BC.过D作DE∥AB，连接EC. ∵∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD， ∴∠DCE=∠CED=
1×（180°－46°）=67° 2∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67° ∴∠ADC=∠DCE，，∴AD=EC. ∴梯形ADCE为等腰梯形
∴AC=DE（等腰梯形对角线相等）， ∴AB=AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=67°.
A级
1. 67.5°或22.5° 2.75° 3.60° 4.8 5.A 6.B 7.B
8.D 提示：由已知得(b－c)(a－b)(a+c)=0，故b=c或a=b.
9. 提示：过D作DF∥AC交BC于F，证明△DFG≌△ECG.
10. 提示：延长CE交BA的延长线于F，证明△BEC≌△BEF，再证明△AFC≌△ADB. 11. 提示：图2成立，联系图1，可证明△ECD≌△FBD，
S?DEF?S?CEF?S?ECD?S?CDF?S?FBD?S?CDF?S?CDB?图3不成立，此时S?DEF?S?CEF?1S?ACB 21S?ABC 2
12.作∠BAC的角平分线与CO的延长线交于D，连BD，则△ABD≌△ACD，则∠ABD=∠ACD=30°， ∠OBD=∠ABC－∠OBC－∠ABD=20°=∠ABD， ∠DOB=∠OBC+∠OCB=40°=∠DAB，从而△ABD≌△OBD，AB=OB，即△ABO为等腰三角形，得∠BAO=（180°－40°）=70°
12B级
1.40° 2.①②③ 提示：连AP.3. 60°提示：设∠CAN=∠BAM=α，∠MAN=β，则∠C=∠BAC=2α+β，∠AMN=β 4. D 5.A 6.D
7. 提示：延长BD到F，使DF=BC，则△BEF为等边三角形，再证明△BCE≌△FDE 8.⑴证明略；⑵由①得C′D=AC=AB′，由②得DB′=BA=C′A，又AD=AD，∴△AC′D≌△DB′A；⑶S△AB′C＞S△ABC′＞S△ABC＞S△A′BC，S△ABC+ S△ABC′= S△AC′B+ S△A′BC 9.满足题意的图形有以下四种情形：
A
A
A A B
C
F
C
B 图c
C B
G
D 图a
B
E 图b
图d
C
1210.提示：在△ACD内以CD为边作等边△ECD，连AE，则△ACE≌△ADE.∴∠CAE=∠
CAD=15°，又∵∠DCB=90°-∠ACD=90°-75°=15°，∴∠CAE=∠BCD=∠ECA. 又∵AC=BC，CE=CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠DBC=∠EAC=15°. ∴∠DCB=∠DBC，∴DC=DB.
C E A 11.设
D B
?m?1?m?1?m?12BK2BH?n，因BH＜BA，BK＜BC，故mn＜4，得?；?；?；?m，ABn?1n?2n?3BC????m?2?m?3；? ?n?1n?1??①当m=n=1时，BH=BC，BK=AB，△ABC是等边三角形.
②当m=1，n=2时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为直角的等腰直角三角形. ③当m=1，n=3时，BH=BC，BK=AB，△ABC是∠A为120°的等腰三角形. ④当m=2，n=1时，△ABC是以∠C为直角的等腰直角三角形. ⑤当m=3，n=1时，△ABC是以∠C为120°的等腰三角形.
1232121212