线性代数练习题

一 选择题

1A,B都是n阶矩阵，且AB?0, 则必有:（ ）

(A) A?0或B?0. (B) A?B?0 . (C) A?0或B?0. (D) A?B?0

2设??10??ab??1?1??ab? 则?,????????（ ）

??11??cd??01??cd??01?(A)??.?11??

?1?1?(B)??.10??

?1?1?(C)??.11??

?11?(D)??.0?1??

3若 A为m?n矩阵,且R(A)?r?m?n则( )必成立.

（A）A中每一个阶数大于r的子式全为零。 （B）A是满秩矩阵。 （C）A经初等变换可化为???Er?00?? （D）A中r阶子式不全为零。 ?0?4 向量组 ?1,?2,??s,线性无关的充分条件是( ) （A） （B） （C） （D）

?1,?2,??s均不是零向量.

?1,?2,??s中任一部分组线性无关.

?1,?2,??s中任意两个向量的对应分量都不成比例. ?1,?2,??s中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示.

5 齐次线性方程组AX?0是非齐次线性方程组AX?B的导出组,则( )必定成立. （A）AX?0只有零解时, AX?B有唯一解.

（B）AX?0有非零解时, AX?B有无穷多解.

（C）?是AX??的任意解,?0 是AX?B的特解时,?0??是AX?B的全部解. （D）?1，?2是AX?B的解时,

?1??2 是AX?0的解.

6若B??,方程组AX?B中, 方程个数少于未知量个数，则有( )

(A) AX?B一定无解。 (B) AX??只有零解。

(C) AX??必有非零解。 (D) AX?B一定有无穷多组解。 7线性方程组??ax?by?1， 若 a?b,则方程组 ( )

?bx?ay?0(A)无解 (B)有唯一解 (C)有无穷多解 (D)其解需要讨论多种情况 8 设A、B都是n阶矩阵，且AB?0, 则A和B的秩（ ）

?A? 必有一个为0, ?B? 必定都小于n,

?C? 必有一个小于n， ?D? 必定都等于n

二 填空题

?x1?2x2?x3?01方程组?的通解为_____.

2x?4x?7x?023?12设5阶方阵A的行列式为A??2 ，则

2A?__________.

3已知 ??20??52?X????34?，求X?

1?1????13 53三 计算题

2?5313?11 D??011??1?42?1113 2 D?13213314424312 解：D?(3?1)(4?1)(2?1)(4?3)(2?3)(2?4)?12 2223x23 D?000x2000x22x002x001?44 解：D?x2x0?2(?1)02x?x?16 002x002x

axxxxaxx 4 D?、

xxaxxxxa11111111xaxx0a?x003D??3x?a???3x?a???3x?a??a?x?

xxax00a?x0xxxa000a?x?4?68???, 求矩阵A的秩。解：A345设A?2?????2?3?4???234???010??，R(A)?2 ?000???222?222???6设A?123,????136??11B?A?1, 求B 解：A?123?2， B?A?1??

A2136??0?1????9?2???272???5?1?0?

?9?11??5125?1503??2?1?????6?X???1?解: 7 解矩阵方程:??14?3?2?3??0??????203????146???3?2?3????1??0?1?203??1??1????6???1???? X???14??3?2?3??0??9????2???272??1??????5?1?5???1????1?0???1???

???99?????0??1711???????5125??135?153???182??20????0?36?68 解矩阵方程:X?14???? ?3?2?3??005?????

?203???69 解: ?14???3?2?3????1??0?1????9?2???272???5?1?0?

9??11??5125?2???5?1?0?

9??11??5125?1515??0?1??182??203???182??1??????X??0?36???146???0?36??????005??3?2?3??005??9??????2???27?20??27?7???9?10???2710

15651?64?135??17? 45??1??27??x1?2x2?3x3?4x4?5求线性方程组?的通解

?x1?x2?x3?x4?12?131415??1???1??0??015323217?3??知R(A)?R(B)?2?4, 故原方程4??3??1解: B???1组有无穷多组解,

57?x??x?2x?34?133??x??2x?x?4同解方程组为：?2，x3,x4为自由未知量, 3433?x?x3?3?x4?x4?

?7??5???????x1???2?33?????????x2??4???2??k??1?, k,k任意常数

原方程组的通解为：????k121?2??3?3?x30????0????1??1??x???????4???0??0?????

?x1?2x2?x3?x4?2?2x?5x?x?4x?5?123410求线性方程组?的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个基

x?x?2x?1234???3x4?3?x1?3x2础解系。

?1?2解:B???0??1?21511?13014232??5?1??3???1??0?0??0?03?31?120000000??1?知R(A)?R(B)?2?4, 故原方程组有?0?0???x1??3x3?3x4无穷多组解, 同解方程组为：?，x3,x4为自由未知量,

x?x?2x?134?2?x1??0???3??3?????????x11?22原方程组的通解为：??????k1???k2??, k1,k2任意常数

?x3??0??1??0?????0???0???1???x????????4????x1?x2?x3?x4?1?3x?2x?x?x??2?123411求线性方程组?的通解，并指出其对应的齐次线性方程组的一个

x?2x?x?5234???5x1?4x2?3x3?3x4?0基础解系。

?1?3解: B???0??5?1214112311??10?1?1?4????1?2??01225?，知R(A)?R(B)?3?4, 故原方程组

???1500010???00000??30????