S表＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·，
R54π
所以S′表＝2πR－2.
27
R令S′表＝0，得R＝3，则当R＝3时，S表最小. 答案 3
12.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式解集为________.
f（x）
e
x<1的
答案 {x|x>0} 13.若函数f(x)＝解析 f′(x)＝
ax－ae
x＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________.
2xaex－（ax－a）ex－a（x－2）
e
＝e
x(a<0).
当x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0， ∴当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝2＋1.
e
若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)＝2＋1>0，
e解之得a>－e，因此－e 14．已知函数y＝x－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝________． 解析：设f(x)＝x－3x＋c， 对f(x)求导可得，f′(x)＝3x－3， 令f′(x)＝0，可得x＝±1， 易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 2 33 22 2 aa 在(－1，1)上单调递减． 若f(1)＝1－3＋c＝0，可知c＝2； 若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2. 答案：－2或2 15．已知函数f(x)＝ax－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________． 3x－13x－13 解析：当x∈(0，1]时不等式ax－3x＋1≥0可化为a≥3，设g(x)＝3，x∈(0，1]， xx 3 ?x－1?6?2?32 3x－（3x－1）·3x?? g′(x)＝＝－. 64 xx g′(x)与g(x)随x的变化情况如下表： x g′(x) g(x) ?0，1? ?2???＋ 1 20 极大值4 ?1，1? ?2???－ 因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)． 答案：[4，＋∞) 16．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元． 2 答案：30 23 000 17．据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)． (1)试将y表示为x的函数； (2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值． kakb 解：(1)设点C受A污染源污染程度为2，点C受B污染源污染程度为2，其中k为比例系数，且k>0. x（18－x）从而点C处受污染程度y＝ kakb 2＋2. x（18－x） kkb (2)因为a＝1，所以，y＝2＋2， x（18－x）2b?2?y′＝k?－3＋3? ?x（18－x）?令y′＝0，得x＝ 18 ， 31＋b 又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意， 所以，污染源B的污染强度b的值为8. be 18．设函数f(x)＝aeln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2. x x x－1 (1)求a，b； (2)证明：f(x)>1. 2x－1.x (2)证明：由(1)知，f(x)＝eln x＋e， x2－x 从而f(x)>1等价于xln x>xe－， e设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x. ?1?所以当x∈?0，?时，g′(x)<0； ?e??1?当x∈?，＋∞?时，g′(x)>0. ?e? ?1??1?故g(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增， ?e??e? 1?1?从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g??＝－. e?e? 2－x－x 设函数h(x)＝xe－，则h′(x)＝e(1－x)． e所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0. 故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 1 从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－. e综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 19．已知函数f(x)＝ln x＋(a＞0)． (1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围； 21 (2)证明：当a≥，b＞1时，f(ln b)＞. ebax 11 (2)令h(x)＝xlnx＋a ，则h′(x)＝ln x＋1，当0＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，所以函数 ee h(x)在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增． ee ?? 1?? ?1? ?? 11211 当x＝时，[h(x)]min＝－＋a，于是，当a≥时，h(x)≥－＋a≥，① eeeee 令φ(x)＝xe，则φ′(x)＝e－xe＝e(1－x)，当0＜x＜1时，φ′(x)＞0； 当x＞1时，φ′(x)＜0，所以函数φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．当x＝1时，[φ(x)]max 11 ＝，于是，当x＞0时，φ(x)≤，② ee 2－x显然，不等式①、②中的等号不能同时成立，故当x＞0，a≥时，xln x＋a＞xe， e －x－x－x－xa11b因为b＞1，所以ln b＞0，所以ln b·ln(ln b)＋a＞ln b·e－ln，所以ln(ln b)＋＞，即f(ln b)＞. ln bbb20.已知函数f(x)＝ln x－ a（x－1） (a∈R). x