两侧的磁感强度.(提示:可参考本章问题7 -11,并用安培环路定理求解.)
分析 依照右手螺旋定则,磁感强度B 和电流j 相互垂直,同时由对称性分析,无限大导电平面两侧的磁感强度大小相同,方向反向平行.如图所示,在垂直导电平面的平面上对称地取矩形回路abcd,回路所在平面与导电平面相交于OO′,且使ab∥cd∥OO′,ad⊥OO′,cd⊥OO′,ab =cd =L,根据磁场的面对称分布和安培环路定理可解得磁感强度B 的分布. 解 在如图所示的矩形回路abcd 中,磁感强度沿回路的环路积分
?B?dl??B?dl??B?dl??B?dl??B?dl
labcdbcda由于对称性B1 =B2 =B,B3 、B4 与积分路径正交,因而
?B?dl?2Bl (1)
l回路abcd 内包围的电流I =jL,根据安培环路定理,有
?B?dl?2Bl?μl0jL (2)
由式(1)和式(2)可得导电板两侧磁感强度的大小为
B?1μ0j 2磁感强度的方向由右手螺旋关系确定.
7 -21 设有两无限大平行载流平面,它们的面电流密度均为j,电流流向相反.求:(1) 两载流平面之间的磁感强度;(2) 两面之外空间的磁感
强度.
解 由上题计算的结果,单块无限大载流平面在两侧的磁感强度大小为
1
?0j,方向如图所示,根据磁场的叠加原理可得 2
(1) 取垂直于纸面向里为x 轴正向,合磁场为
B?μ0jμji?0i?μ0ji 22(2) 两导体载流平面之外,合磁场的磁感强度
μ0jμ0ji-i?0
22?47 -22 已知地面上空某处地磁场的磁感强度B?0.4?10T,方向向
B?北.若宇宙射线中有一速率v?5.0?10ms 的质子,垂直地通过该处.求:(1)洛伦兹力的方向;(2) 洛伦兹力的大小,并与该质子受到的万有引力相比较.
7?1
解 (1) 依照FL?qv?B可知洛伦兹力FL的方向为v?B的方向,如图所示.
(2) 因v?B,质子所受的洛伦兹力
FL?qvB?3.2?10?16N
在地球表面质子所受的万有引力
G?mpg?1.64?10?16N
因而,有FL/G?1.95?10,即质子所受的洛伦兹力远大于重力. 7 -23 在一个显像管的电子束中,电子有1.2?10eV的动能,这个显像管安放的位置使电子水平地由南向北运动.地球磁场的垂直分量
410B??5.5?10?5T,并且方向向下.求:(1) 电子束偏转方向;(2) 电
子束在显像管内通过20 cm到达屏面时光点的偏转间距.
解 (1) 如图所示,由洛伦兹力
F?qv?B
电子带负电,q <0,因而可以判断电子束将偏向东侧.
(2) 在如图所示的坐标中,电子在洛伦兹力作用下,沿圆周运动,其轨道半径R(参见教材第7 -7 节)为
R?2mEkmv??6.71m eBeB由题知y?20cm,并由图中的几何关系可得电子束偏向东侧的距离
Δx?R?R2?y2?2.98?10?3m即显示屏上的图像将整体向东平移近
3 mm.这种平移并不会影响整幅图像的质量.
7 -24 试证明霍耳电场强度与稳恒电场强度之比EH/EC?B/nep,这里ρ 为材料电阻率,n 为载流子的数密度.
分析 在导体内部,稳恒电场推动导体中的载流子定向运动形成电流,由欧姆定律的微分形式,稳恒电场强度与电流密度应满足
EC?ρj
其中ρ 是导体的电阻率.当电流流过位于稳恒磁场中的导体时,载流子受到洛伦兹力的作用,导体侧面出现电荷积累,形成霍耳电场,其电场强度为
EH??v?B
其中v 是载流子定向运动速率.根据导体内电流密度
j?nev
由上述关系可得要证明的结果. 证 由分析知,在导体内稳恒电场强度为
EC?ρj?ρnev
由霍耳效应,霍耳电场强度
EH??v?B
因载流子定向运动方向与磁感强度正交,故EH =vB,因而
EH/EC?vB/ρ/?vB/ρ/ρv?B/neρ
7 -25 霍尔效应可用来测量血流的速度,其原理如图所示.在动脉血管两 侧分别安装电极并加以磁场.设血管直径为d =2.0 mm,磁场为B=0.080 T,毫伏表测出血管上下两端的电压为UH =0.10 mV,血流的流速为多大?
分析 血流稳定时,有
qvB?qEH
由上式可以解得血流的速度. 解 依照分析
v?EHUH??0.63m/s BdB7 -26 磁力可以用来输送导电液体,如液态金属、血液等而不需要机械活动组件.如图所示是输送液态钠的管道,在长为l 的部分加一横向磁场B,同时沿垂直于磁场和管道方向加一电流,其电流密度为J.
(1) 证明在管内液体l 段两端由磁力产生的压力差为?p?JlB,此压力差将驱动液体沿管道流动.
(2) 要在l 段两端产生1.00 atm(1 atm=101 325 Pa)的压力差,电流密度应多大? (l =2.00 cm,B =1.50T)