1.已知A（t）=2t+t +5,求
A(t)2tt（1）对应的a（t）；A（0）=5 a（t）=A(0)=5+5+1
（2）I3；I3=A(3)-A(2)=2*3+3+5-(2*2+2+5)=2+3?2
I4A(4)?A(3)2*4?4?5?(2*3?3?5)4?3???A(3)11?311?3 （3）i4; i4=A(3)
2.证明：（1）A(n)?A(m)?I(m?1)?I(m?2)?.....?In （2）A(n)?(1?in)A(n?1).
（1）
A(n)?A(m)?A(n)?A(n?1)?A(n?1)?A(n?2)?....A(m?1)?A(m)?In?In?1?...?Im?1 （m inA(n?1)?A(n)?A(n?1) A(n)?(1?in)A(n? 1 3.(a)若k是时期k的单利利率（k=1,2...,n）证明a(n)-a(0)= (b)若k是时期k的复利利率（k=1,2....,n）证明 ii1?i2?...?in iA(n)?A(0)?I1?I2?....?In in?in?1?.....?i1 （a）a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)=（b） A(n)?A(0)?A(n)?A(n?1)?A(n?1)?A(n?2)?...?A(1)?A(0)?In?In?1?...?I1 4.已知投资500元，3年后得到120元的利息。试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后的积累值。 I?A(3)?A(0?)①单利 a(t)?1?it 3i? 500?(1i3?*?1) 120120?0.08150*3 A(5)?800(1?5*0.08)?1120 35?00?(i1????)?t(3)?A(0?)a(t)?(1?i)I?A②复利 31 120元 53A(5)?800?(1i?)i?1.24?1 38005*/1.?241144.975.已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为1=10%，第二年的利率为 ii2=8%，第三年的利率为i3=6%，求该笔投资的原始金额 A(3)?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)A(0)?A(3)?(1?i1)(?1i2)?(1i3)1000?794.101.1*1.08*1.0 6 6.证明：设当前所处时刻为0，则过去n期的一元钱的现值与未来n期后的一元钱的现值之和大于等于2 1nn(1?i)(1?i)过去n期1元钱的现值为，未来n期后一元钱的现值为 (1?i)n?1?2(1?i)n （当n=0时，等号成立） 7.（1）对于8%的复利，确定 d4； d4； （2）对于8%的单利，确定 I4(1?8%)4?(1?8%)31d???1??0.0744t4a(t)?(1?8%)a(4)1.08(1?8%)（1） d4?（2） I41?8%*4?1?8%*38%???0.061a(4)1?8%*41.32 i(5)1?i(m)5)1??(mi(6)1?6，确定m 8.已知 i(5)i(5)5*m1?(1?)5mmm(m)(m)?iim5556301??()1?i?(1?)??(1?i)?(1?i)m(6)6*mmi(6)i1?(1?)66 6 ?m?30 ctt&A(t)?kabd9.如果，其中k,a,b,c,d为常数，求t的表达式 2tA(t)?katbtdc2tA'(t)katbtdclna?2ktatbtdclnb?kctatbtdclndlnct&t???lna?2tlnb?clndlnc2ttctA(t)kabd10.确定下列导数： 2t2t2t ddddddi?dddd （a）t； （b） d； （c）v （d）?。 ddi1?i?i1d?()??22dd1?i(1?i)(1?i)ii解：（a） ddd1?d?d1i?()??22dd1?d(1?d)(1?d)dd （b） dd1??(?Inv)??ddvv （c）vddd?(1?e??)?e??dd? （d）? 11.用级数展开形式确定下列各项： （a）i作为d的函数； （b）d作为i的函数； （c）i(m)作为i的函数； （d）v作为?的函数； （e）?作为d的函数。 i?解：（a） d?d?d2????dn???1?d i??i?i2?i3????(?i)n???1?i d? （b） imm1?i?(1?)m （c） 11111(?1)(?1)(?2)1m?12(m?1)(m?2)3m?m(1?i)?m?m(1?i?mmi2?mmi3???)?m?i?i?i???m2!3!2!m3!m 1mi(m)v?e （d） ??(??)2(??)3?2?3?1?(??)??????1???????2!3!2!3! （e） ??1d2(?d)3d4d2d3d4??In??In(1??1?(?d)????(?d)????????d??????1?d234234?? 12.若 ?t?p?s1?rest， 11t1t?v1?v2?(P?S)?Pv?ev?ea1?r1?r12t证明：，其中： o ?t?证明： dts1?r(p?s)tIn(a(t))(p?)da?e()t(t)stst?a?0dt1?re1?re te ?p(?st)11?rest?(p?s)t1??e?ea1?r1?r t?r?pt1trte?v1?v2;1?r1?r1?r ?(P?S)?Pv?ev?e 1 2 13.假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t时的利息力为 ?t= （3+2t） /50，其中t为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值。 3?2tdt?tdt??1/250?1/2t解：=1000e=1000e=1046.0279 1114.基金A以每月计息一次的名义利率12%积累，基金B以利息强度 ?t=t/6积累，在时刻t=0 时，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一刻。 解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为1，两基金金额相等的下一刻为t。 tt12tt2(1?)dt12t?sSSS012 A= B= e6 A=B 1.01=e12 t=1.4328 15.基金X中的投资以利息力 ?t=0.01t+0.1 （0?t?20）积累；基金Y中的钱以实际利率 i积累，现分别投资1元与基金X、Y中，在第20年末，它们的积累值相同，求在第3年末 基金Y的积累值。 解： Sx(20)?e?0(0.01t?0.1)dt=e4 20 20S(1?i)Y （20）= SX(20?)SY(2 0420e?(1?i) S(3)?(1?i Y3?)1.8221 16.一投资者投资100元与基金X中，同时投资100元于基金Y中，基金Y以复利计息，年 利率j>0，基金X以单利计息，年利率为1.05j，在第二年末，两基金中的金额相等。求第五年末基金Y中的金额。 2(0.01t?0.1)dt4S(2)?100(1?j)S(2)??y 解：Xe0=e 20 Sx(2)?Sy(2)元 j?0.1 Sy(15)?100(1?i)5?100(1?0.1)5?161.05117.两项基金X和Y以相同金额开始，且有： （1）基金X以利息强度5%计息； （2）基金Y以每半年计息一次的年名义利率j计息； （3）在第8 年末，基金X中的金额是Y中的1.05倍。 求j。 165%dt?e0.4S(8)?(1?j/2)S(8)??y解：xe0 8 Sx(8)?1.05Sy(8) j?0.04439