高三一轮复习

平面向量之三点共线定理的推广及其应用

知识点回顾：

1.平面向量基本定理：

2.三点共线定理定理：

图

uuruuur?例1. 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120.如

uuuruuuruuruuur所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC?xOA?yOB其中x,y?R,则x?y的最大值是_____.

探究： 结论： BQ

P

O A

牛刀小试

如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD?3,点P为?BCD内(含边界)的动点,设

uuuruuuruuurOP?xOC?yOD?x,y?R?,则x?y的最

大值等于__________.

小结1：

变式一

uuruuur给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角

uuur?为120.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. uuuruuruuur若OC?xOA?yOB其中x,y?R,则2x?y的最大值

是_____.

小结2：

(温州九校2016学年第一学期期末第17题)

BB'OA'A已知扇环如图所示,?AOB?120,OA?2,OA???uuuruuruuur动点,且满足OP?xOA?yOB,则2x?y的取值范围是__________.

1,P是扇环边界上一 2

变式二：

如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P是以A为圆心,AB为半径的圆弧

uuuruuuruuur上的任意一点,设AC??DE??AP,则???的最小值为__________.

小结3：

例2.(金华十校2016学年第一学期期末第9题)

在?OMN中,点A在OM上,点B在ON上,且AB∥MN,2OA?OM,若OP?xOA?yOB,则终点P落在四边形ABMN内(含边界)时,

uuuruuruuury?x?2的取值范围是_______.

x?1

练一练：

uuuruuuruuur13正VABC的边长为1,AP?xAB?yAC,且0?x?1,0?y?1,?x?y?,

22则动点P所形成的平面区域的面积是________.

在圆锥曲线中的综合应用

x2y2设P是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)右支上任意一点,已知A(a,b)和B(a,?b),若

abuuuruuruuur22OP??OA??OB(O为坐标原点),则???的最小值为_______.

思考：能否将该种方法推广至空间？

巩固练习

1. 如图所示,两射线OA和OB交于O,给出下列向量:

uuruuururur3uur1uu1uur1uu(1)OA?2OB; (2)OA?OB;(3)OA?OB;

4323urur3uur1uu3uur1uu(4)OA?OB;(5) OA?OB 454512AB,BE?BC,若 23 这些向量中以O为起点,终点在阴影区域内的是_________. 2. 设D,E分别是VABC的边AB,BC上的点,AD?uuuruuuruuurDE?xAB?yAC,则x?y的值为______.

uuruuuruuuruuruuuruuur2?uur?3. 平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为,OA与OC的夹角为,且

36uuuruuruuuruuruuuruuurOA?OB?2,OC?43,若OC??OA??OB??,??R?,则???的值为_______.

uuuruuuruuur2?4. 已知O为VABC的外心,若AB?2,AC?1,?BAC?,且AO??AB??AC,则

3 ???的值为_______.

5. 如图,在正六边形ABCDEF中,点P是?CDE内(包括边界)的一个

uuuruuuruuur动点,设AP??AB??AF??,??R?,则???的取值范围是

A. ?1,2? B. ?2,3? C. ?2,4? D. ?3,4?

EFDC AB

6. 已知直角三角形ABC中,AB?3,AC?4,BC?5,I是?ABC的内心,P是?IBC内部

uuuruuuruuur (不含边界)的动点,若AP??AB??AC(?,??R),则???的取值范围是

71711 A.(,1) B. (,1) C. (,) D. (,1)

1241243

7. 如图,在直角梯形ABCD中,AD?AB,AB∥DC,AD?DC?1,AB?2, 动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆上或圆内移动,设

uuuruuuruuurAP??AD??AB??,??R?,则???的取值范围是

A. ?1,2? B. ?0,3? C. ?1,2? D. ?1,2?

?8. 在平行四边形ABCD中,?BAD?60,AB?1,AD?3,P为平行四边形内一点,

uuuruuuruuur3,若AP??AB??AD(?,??R),则??3?的最大值为_______. AP?2