(2)f(x)===1-在R上是增函数,
证明如下:任意取x1,x2,使得x1>x2, 所以
>
>0,则f(x1)-f(x2)=
=>0.
所以f(x1)>f(x2),f(x)在R上是增函数. (3)因为0<
<2,
所以f(x)=1-∈(-1,1),
所以f(x)的值域为(-1,1). 21. (1)当x<0时,-x>0, 因为f(x)是定义域为R的偶函数, 所以f(x)=f(-x)=
=
.
即当x<0时,f(x)=.由(1)知f(x)=
(3)f(x)的值域为[0,1). 22. (1)∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)f(x)为偶函数.
证明:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1), ∴f(-1)=f(1)=0.
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x), ∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 由(2)知,f(x)是偶函数, ∴f(x-1)<2?f(|x-1|)
又f(x)在(0,+∞)上是增函数.
∴0<|x-1|<16,解之得-15
高一上学期数学期中考试试题
卷(Ⅰ)
一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1. 设集合A={1,2,6},B={2,4},则A∪B= A. {2} 2. 函数y=B. {1,2,4}
C. {1,2,4,6}
D. {2,4}
24?x2的定义域为
A. (-2,2)
43B. (-∞,-2)∪(2,+∞) C. [-2,2] D. (-∞,-2] ∪[2,+∞)
3. 2log62?log69?8=
A. 14 B. -14 C. 12 D. -12
2?3?x?1?x?2? 4. 若函数f(x)= ?,则方程f(x)=1的解是
x?32?x?5?? A. 2或2 B. 2或3
3C. 2或4 D. ±2或4
5. 若函数f(x)=x,则函数y=f(-2x)在其定义域上是
A. 单调递增的偶函数 B. 单调递增的奇函数 C. 单调递减的偶函数 D. 单调递减的奇函数
6. 若a?2,b=4,c=log30.2,则a,b,c的大小关系是 A. a
24325B. c
7. 函数y?3?3?4x?x的单调递增区间是 A. (-∞,2]
B. [2,+∞)
C. [1,2]
D. [1,3]
8. 李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车发生故障,停下修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,结果准时到校,在课堂上,李老师请学生画出自行车行进路程s(千米)与行进时间x(秒)的函数图象的示意图,你认为正确的是
9. 已知f(10x)?x,则f(5)= A. 10
5
B. 5
10
C. log510
D. lg5
10. 某同学在研究函数f(x)?x(x∈R)时,分别给出下面几个结论:
|x|?1 ①函数f(x)是奇函数;②函数f(x)的值域为(-1,1);③函数f(x)在R上是增函数;其中正确结论的序号是
A. ①②
二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分) 11. 若集合A=[0,2],集合B=[1,5],则A∩B=_________. 12. 函数y=2-4的零点是_________.
13. 函数f(x)= log3(2x?1)(x∈[1,2])的值域为______________.
14. 函数f(x)=3x-1,若f[g(x)]=2x+3,则一次函数g(x)=______________. 15. 若函数f(x)= a(a?0,a?1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=_______.
xxB. ①③ C. ②③ D. ①②③
2x?1 16. 若函数f(x)?x是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围是_______.
2?a
三、解答题(本大题共3小题,共26分) 17. (本小题满分6分)
已知:函数f(x)=(x-2)(x+a)(a∈R),f(x)的图象关于直线x=1对称. (Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,3]上的最小值.
18. (本小题满分10分)
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元,如图:
(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系;
(Ⅱ)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,最大收益是多少万元?
19. (本小题满分10分)
已知:函数f(x)= loga(x?1)?loga(1?x)(a>0且a≠1). (Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判断函数f(x)的奇偶性,并加以证明; (Ⅲ)设a= 卷(Ⅱ)
1. 设集合A={x|x?x?0},B={x|x-2=0},则{x|(x?x)(x?2)?0}= A. CR(A?B) B.(CRA)?B 2. 已知函数f(x)= log1[()31,解不等式f(x)>0. 222
C. A?(CRB) D. CR(A?B)
132x1?2?()x?2],则满足f(x)<0的x的取值范围是
3C. (-∞,-1)
D. (-1,+∞)
A. (-∞,0) B. (0,+∞)
3. 下表是某次测量中两个变量x,y的一组数据,若将y表示为关于x的函数,则最可能的函数模型是
x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 0.63 1.01 1.26 1.46 1.63 1.77 1.89 1.99 A. 一次函数模型
2B. 二次函数模型 C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
4. 用二分法求方程x?1?3x的一个近似解时,已知确定有根区间为(0,1),则下一步可确定这个根所在的区间为_________.
5. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)= x?2x,如果函数g(x)=f(x)-m恰有4个零点,则实数m的取值范围是________.
6. 函数f(x)= a?loga(x?1)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为a,则a的值是___________. 7. 已知函数f(x)=x?bx?c,若f(1-x)=f(1+x),且f(0)=3. (Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)试比较f(b)与f(c)(m∈R)的大小.
8. 集合A是由满足以下性质的函数f(x)组成的:对于任意x≥0,f(x) ∈[-2,4]且f(x)在[0,+∞)上是增函数.
mm22x