1.3 二项式定理

1.3.1 二项式定理

课时过关·能力提升

基础巩固

1.(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数为( )

A C

B D.(-1)r-1

解析:由展开式通项知Tr=xn+1-r·(-y)r-1,则第r项的二项式系数为 答案:C 2.展开式中的常数项为( ) A.-1 320 C.-220

B.1 320 D.220

解析:Tk+1=x12-k=(-1)k,令12-k=0,得k=9.故T10=(-1)9=-220. 答案:C 3.的展开式中倒数第3项的系数是( ) A2 C25

B26 D22

解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=(2x)222·x-8.该项的系数为22. 答案:D 4.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( ) A.x4 C.(x-2)4

B.x4+1 D.x4+4

解析:S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4,故选A. 答案:A 5.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 A.1

解析:Tk+1=ak.

B.-1

C.2

( ) D.-2

∵Tk+1为常数项,-k=0, ∴k=3a3=-220,∴a=-1.

答案:B 6.的展开式中含x3项的二项式系数为( ) A.-10

B.10

C.-5

D.5

解析:Tk+1=x5-k=(-1)kx5-2k,令5-2k=3,则k=1.故含x3项的二项式系数为=5. 答案:D 7.的展开式中x8的系数是 .(用数字作答)

解析:展开式的通项公式Tk+1=(x3)5-k2-k(k=0,1,2,…,5).令15-k=8,得k=2,于是展开式中x8项的系数是2-2= 答案: 8.若A=37+35+33+3,B=36+34+32+1,则A-B= . 解析:A-B=37-36+35-34+33-32+3-=(3-1)7=27=128. 答案:128 9.在的展开式中,求:

(1)第5项的二项式系数及系数; (2)x2的系数.

解:(1)因为T5=(2x2)424,所以第5项的二项式系数是=70,第5项的系数是24=1 120.

(2)的通项是 Tk+1=(2x2)8-k =(-1)k28-k,

根据题意得,16-k=2,解得k=6, 因此x2的系数是(-1)628-6=112. 10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.

证明32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(8n+1+8n+…+8+1)-24n+37=3×64(8n-1+8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(8n-1+8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.

能力提升

1.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( ) A.3

B.6

C.9

D.21

解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=23+22·(x-2)+2·(x-2)2+(x-2)3.

所以a2=2=6. 答案:B 2.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于( ) A.45

B.55

C.70

D.80

解析:由二项式定理,得(1+)5=1+()2+()3+()4+()5=1+5+20+20+20+4=41+29,

即a=41,b=29,故a+b=70. 答案:C 3.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( ) A.-4

B.-3

C.3

D.4

解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.

令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于(-1)0(-1)1(-1)2=-3. 方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4·(1-)2=(1-x)4(1-2+x). 于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为1+(-1)1·1=-3. 答案:B 4.设a∈Z,且0≤a<13,若512 016+a能被13整除,则a等于( )