2018挑战中考数学压轴题((全套)含答案与解析) 下载本文

----

WORD 格式 可编辑

图3

图4 图5

( 3)如图 4,过点 D作 y 轴的垂线,垂足为

E.过点 A 作 x 轴的垂线交 DE于 F.

由 y=m( x+ 3)( x- 1) = m(x + 1) 2- 4m,得 D( -1, - 4m) . 在 Rt△ OBC中, OB∶ OC=1∶ 3m.

如果△ ADC与△ OBC相似,那么△ ADC是直角三角形,而且两条直角边的比为 1∶3m. ① 如图 4,当∠ ACD= 90°时,

OA

OC .所以 3 ED

3m1

.解得 m= 1.

此时

CA

CD

3 .所以 .所以△ CDA∽△ OBC. OC 3,

ED OB CD OB

OC

EC

CAOCm

② 如图 5,当∠ ADC= 90°时,

FA

FD .所以 4m EC

2

.解得 m

ED 1 m

2 .

2

此时

DA

DC

FD EC

3m 2 2 2 ,而 OB m

OC.因此△ DCA与△ OBC不相3 2 似.

2

综上所述,当 m= 1 时,△ CDA∽ △OBC.

考点伸展

第( 2)题还可以这样割补:

如图 6,过点 P作 x 轴的垂线与

AC交于点 H.

由直线 AC: y=- 2x- 6,可得 H( x, - 2x-6) . 又因为 P( x, 2 x2+4x- 6) ,所以 HP=- 2x2- 6x. 因为△ PAH与△ PCH有公共底边

HP,高的和为

A、 C两

点间的水平距离 3,所以

S= S△APC= S△ APH+S△ CPH

= ( - 2x2- 6x) 2 = 3( x

3

3 ) 2 2

27 . 4

图 6

专业知识 整理分享

----- ---- WORD 格式 可编辑

图2 图3

例 2

2014 年湖南省益阳市中考第 21 题

如图 1,在直角梯形

ABCD中, AB// CD, AD⊥ AB,∠ B=60°,AB= 10,BC= 4,点 P 沿线

段 AB从点 A 向点 B运动,设 AP= x. 2·1·c·n·j ·y

( 1)求 AD的长;

( 2)点 P 在运动过程中,是否存在以 A、 P、 D为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似?若存在,求出

x 的值;若不存在,请说明理由;

( 3)设△ ADP与△ PCB的外接圆的面积分别为 S1 、S2 ,

若 S= S1+ S2,求 S 的最小值 .

动感体验

图 1

请打开几何画板文件名“

14 益阳 21”,拖动点 P 在 AB上运动,可以体验到,圆心

O的

运动轨迹是线段 BC的垂直平分线上的一条线段.观察 S随点 P 运动的图象,可以看到, S

有最小值,此时点

P看上去象是 AB的中点,其实离得很近而已.

思路点拨

1.第( 2)题先确定△ PCB是直角三角形,再验证两个三角形是否相似.

2.第( 3)题理解△ PCB的外接圆的圆心 O很关键,圆心 O在确定的 BC的垂直平分线

上,同时又在不确定的

BP的垂直平分线上. 而 BP与 AP是相关的, 这样就可以以 AP为自变

量,求 S 的函数关系式.

图文解析

( 1)如图 2,作 CH⊥ AB于 H,那么 AD= CH.

在 Rt△ BCH中,∠ B=60°,BC= 4,所以 BH=2, CH= 2 3 .所

AD=2 3.

以( 2)因为△ APD是直角三角形,如果△ APD与△ PCB相似,那么PCB一定是直角三角 △

形.

① 如图 3,当∠ CPB= 90°时,AP= 10- 2= 8. 所以

AP

84 = 3,而PC= .此时△ 与△ 不相似.

AD

2 3 3 PB

3

APD

PCB

图4

② 如图 4,当∠ BCP= 90°时,BP= 2BC= 8.所以 AP=2.

专业知识 整理分享

----- ----

WORD 格式 可编辑

所以

AP

= = .所以∠APD=60°.此时△APD∽△CBP. AD 2 3 3

2

3

综上所述,当 x= 2 时,△ APD∽ △CBP.

( 3)如图 5,设△ ADP的外接圆的圆心为 G,那么点 G是斜边 DP的中点.

设△ PCB的外接圆的圆心为 O,那么点 O在 BC边的垂直平分线上,设这条直线与

BC交

于点 E,与 AB交于点 F.

设 AP= 2m.作 OM⊥ BP于 M,那么 BM= PM=5- m. 在 Rt△ BEF中, BE= 2,∠ B= 60°,所以 BF= 4.

在 Rt△ OFM中, FM= BF-BM= 4-(5 - m) =m- 1,∠ OFM= 30°, 所以

OM

3 3

2

( m 1) .

2

2

2

2

2

所以

2

OB BM

OM (5 m)

2

2

1

3 (m

1) .

2

2

在 Rt△ ADP中, DP= AD+ AP= 12+ 4m.所以 GP=3+ m.

1

2 2

2

于是 S=S + S =π( GP+ OB)

3

m2

(5 m)

21

(m 1)2 =

(7m2 3 113 .

7

32m 85) .

3

所以当 m

167

时, S 取得最小值,最小值为

图5 图6

考点伸展

关于第( 3)题,我们再讨论个问题. 问题 1,为什么设

AP m

= 2 呢?这是因为线段

AB AP PM BM AP

= + +=+2

BM

= 10.

这样 BM= 5- m,后续可以减少一些分数运算.这不影响求 S 的最小值.

问题 2,如果圆心 O在线段 EF的延长线上, S 关于 m的解析式是什么? 如图 6,圆心 O在线段 EF的延长线上时,不同的是 此时

FM= BM- BF= (5 - m) - 4= 1- m.

2=

2OB BM OM (5 m)

2=

2

1 2

3 (1 m) .这并不影响 S 关于 m的解析式.

专业知识 整理分享

----- ----

WORD 格式 可编辑

例 3

2015 年湖南省湘西市中考第 26 题

如图 1,已知直线 y=- x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点,抛物线 y=- x2+bx+ c

经过 A、 B两点,点 P 在线段 OA上,从 点 O出发,向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动;

同时,点 Q在线段 AB上,从点 A 出发,向点 B以每秒 2 个单位的速度匀速运动,连结 PQ,

设运动时间为 t 秒.

( 1)求抛物线的解析式;

( 2)问:当 t 为何值时,△ APQ为直角三角形; ( 3)过点 P作 PE// y 轴,交 AB于点 E,过点 Q作 QF// y 轴,交抛物线于点 F,连结 EF,当 EF// PQ时,求点 F 的坐标;

( 4)设抛物线顶点为 M,连结 BP、 BM、 MQ,问:是

否存在 t 的值,使以 B、 Q、 M为顶点的三角形与以 O、 B、

P为顶点的三角形相似?若存在,请求出

在,请说明理由.

t 的值;若不存

图 1

动感体验

请打开几何画板文件名“ 15 湘西 26”,拖动点 P 在 OA上运动,可以体验到,△ APQ有

两个时刻可以成为直角三角形,四边形

EPQF有一个时刻可以成为平行四边形,△

MBQ与△

BOP有一次机会相似.

思路点拨

1.在△ APQ中,∠ A= 45°,夹∠A 的两条边 AP、AQ都可以用 t 表示,分两种情况讨论

直角三角形 APQ.

2.先用含 t 的式子表示点

P、Q的坐标,进而表示点 E、F 的坐标,根据 PE= QF列方程

就好了.

3.△ MBQ与△ BOP都是直角三角形,根据直角边对应成比例分两种情况讨论.

图文解析

( 1)由 y=- x+ 3,得 A(3, 0) ,B(0, 3) . 将 (3, 0)

、 (0, 3)

分别代入

=- 2+

+ ,得

A

B y

x

bx c

9 3b c 0, 解得 b c 3. c

2,

3.

所以抛物线的解析式为

y=- x2+ 2x+ 3.

( 2)在△ APQ中,∠ PAQ= 45°,AP= 3- t , AQ= 2 t .

分两种情况讨论直角三角形

APQ:

① 当∠ PQA= 90°时,AP= 2 AQ.解方程 3- t = 2t ,得 t = 1(如图 2).

专业知识 整理分享

-----