----
WORD 格式 可编辑
P运动的过程中，⊙ P 始终与直线 y＝－ 1 相切．这是因为：
1)
设点 P的坐标为 (x, 1 x2 ) ．
4 已知 (0, 1) ，所以
2
2
1)
2
PBx
1
4
( x
而圆心 P 到直线 y＝－ 1 的距离也为
1
1 4
( x
2
2
1 x 2 1 ．
4
x2 1 ，所以半径 PB＝圆心 P 到直线 y＝－ 1 的距
离．所以在点 P 运动的过程中，⊙
4
P始终与直线 y＝－ 1 相切．
例 10
2014年湖南省张家界市中考第 25 题
如图 1，在平面直角坐标系中，
B C
O为坐标原点，抛物线 y＝ax2＋ bx＋c（ a≠ 0）过 O、 B、
、 坐标分别为 (10, 0) 和 ( 18 C 三点，
5 x 轴于 B 点．
（ 1）求直线 BC的解析式； （ 2）求抛物线解析式及顶点坐标；
24 5
) ，以 OB为直径的⊙ A 经过 C点，直线 l 垂直
（ 3）点 M是⊙ A 上一动点 （不同于 O、B），过点
M作⊙ A 的切线， 交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设
线段 ME长为 m， MF长为 n，请猜想 mn的值，并证明
你的结论；
（ 4）若点 P 从 O出发，以每秒 1 个单位的速度向
点 B 作直线运动， 点 Q同时从 B 出发，以相同速度 向点 C 作直线运动，经过
t （ 0＜ t ≤8）秒时恰好使
△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的
t 值．
图
图 1
动感体验
请打开几何画板文件名“
14 张家界 25”，拖动点 M在圆上运动，可以体验到，△ EAF保
持直角三角形的形状，
AM是斜边上的高．拖动点 Q在 BC上运动，可以体验到，△ BPQ有三
个时刻可以成为等腰三角形．
思路点拨
1．从直线 BC的解析式可以得到∠ OBC的三角比，为讨论等腰三角形
BPQ作铺垫．
2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．
3．第（ 3）题连结 AE、 AF容易看到 AM是直角三角形 EAF斜边上的高．
4．第（ 4）题的△ PBQ中，∠ B 是确定的，夹∠ B 的两条边可以用含 t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．
专业知识 整理分享
----- ---- WORD 格式 可编辑
图3 图4
图文解析
（ 1）直线 BC的解析式为 y
3 x
15 ．
4 2
（ 2）因为抛物线与 x 轴交于 O、 B(10, 0) 两点，设 y＝ ax( x－ 10) ．
代入点 C 18 ,
24 18
32 ) ．解得 a 5 ．
，得 24 a
5 5 5
5
5
24
所以 y
5 x( x
10)
5 x2 25 x
5 (x 5)2 125 ．
24
24 12 24
24
抛物线的顶点为 (5,
125
) ．
24
（ 3）如图 2，因为 EF切⊙ A 于 M，所以 AM⊥EF． 由 AE＝ AE， AO＝ AM，可得 Rt △ AOE≌ Rt △ AME． 所以∠ 1＝∠ 2．同理∠ 3＝∠ 4．
于是可得∠ EAF＝ 90°．
所以∠ 5＝∠ 1．由 tan ∠5＝ tan ∠1，得 MA
ME
．
2
MF
MA
所以 ME·MF＝ MA，即 mn＝25．
（ 4）在△ BPQ中， cos ∠B＝ 4
图 2
， BP＝ 10－ t ， BQ
＝ t ． 5
分三种情况讨论等腰三角形
BPQ：
① 如图 3，当 BP＝ BQ时， 10
－ t ＝t ．解得 t ＝ 5．
② 如图 4，当
＝
时， 1 1 PB
PQ
BQ BP cos
B ．解方程
t
4 (10
t) ，得 t
80 ．
12
1
2 5
13
③ 如图 5，当 QB＝ QP时， BP
BQ cos B ．解方程 (10 t )
4 t ，得 t 50 ． 2
2
5 13
图5
考点伸展
在第（ 3）题条件下，以
与 轴相切于点
EF为直径的⊙
G．
x
如图 6，这是因为
也是直角梯形A
斜边上的中线，
的中位线，
AG既是直角三角形
EAF
EOBF
因此圆心 G到 x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙
G与 x 轴相切于点 A．
-----
---- 专业知识 整理分享
----- ----
WORD 格式 可编辑
图 6
例 11
2014 年湖南省邵阳市中考第 26 题
在平面直角坐标系中， 抛物线 y＝x2－( m＋ n) x＋mn（ m＞n）与 x 轴相交于 A、B 两点（点
A位于点 B的右侧），与 y 轴相交于点 C．
（ 1）若 m＝ 2，n＝ 1，求 A、 B 两点的坐标；
（ 2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C点坐标是 (0, － 1) ，求∠ ACB的大小； （ 3）若 m＝ 2，△ ABC是等腰三角形，求 n 的值．
动感体验
请打开几何画板文件名“
14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（ 2），拖动点 A 在 x 轴正
半轴上运动，可以体验到，△
ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（
3），拖
动点 B 在 x 轴上运动，观察△ ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰 三角形 ABC有 4 种情况．
思路点拨
1．抛物线的解析式可以化为交点式，用
m，n 表示点 A、 B、 C的坐标．
2．第（ 2）题判定直角三角形 ABC，可以用勾股定理的逆定理， 也可以用锐角的三角比． 3．第（ 3）题讨论等腰三角形
ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．
图文解析
（ 1）由 y＝ x － ( m＋n) x＋ mn＝( x－ m)( x－ n) ，且 m＞ n，点 A 位于点 B 的右侧，可知
2
A( m, 0) ， B( n, 0) ．
若 m＝2， n＝ 1，那么 A(2, 0) ， B(1, 0) ．．
（ 2）如图 1，由于 C(0, mn) ，当点 C的坐标是 (0, －1) ， mn＝－ 1， OC＝1．
若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么
所以 OC＝ OA·OB．所以
2
OA·OB＝ m( －n) ＝－ mn＝ 1．
OC OB OA OC
．
所以 tan ∠ 1＝ tan ∠ 2．所以∠ 1＝∠ 2．
又因为∠ 1 与∠ 3 互余，所以∠ 2 与∠3 互余．
专业知识 整理分享
-----