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第（ 1）题求 P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： ① 如图 8，当点 Q在 AB上时， PQ＝
QH 2 PH 2 ＝ ( 6 t )
2
5
( 8 t 5
t)
2
＝ 3
5t ．
5
当 Q与 B重合时， PQ最大，此时 t ＝ 5，PQ的最大值为 3 5 ．
② 如图 9，当点 Q在 BC上时， PQ＝
CQ2 CP2 ＝ (2CP)2 CP2 ＝
5(8 t) ．
当 Q与 B重合时， PQ最大，此时 t ＝ 5，PQ的最大值为 3 5 ． 综上所述， PQ的最大值为 3 5 ．
图8
图9
§1． 3 因动点产生的直角三角形问题
课前导学
我们先看三个问题：
ABC有多少个？顶点 C的轨迹是
1．已知线段 AB，以线段 AB为直角边的直角三角形
么？
什
2．已知线段 AB，以线段 AB为斜边的直角三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？ 3．已知点 (4,0) ，如果△ 是等腰直角三角形，求符合条件的点 的坐标．
A OAB
B
图 1
如图 1，点
图 2
2，点
图 3
在垂线上，垂足除外．如图 在以 为直径的圆上， 、 两点除
A B C C AB
外．如图 3，以 OA为边画两个正方形，除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共 6 个．
解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，
第一步寻找分类标准，第二步列方程，第
三步解方程并验根．
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一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．
有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．
解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．
如果直角边与坐标轴不平行， 那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，
可以构造两个新
的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．
如图 4，已知 A(3, 0)
， B(1, － 4) ，如果直角三角形 ABC的
顶点 C在 y 轴上，求点 C的坐标．
我们可以用几何的方法，作
AB为直径的圆，快速找到两个
符合条件的点 C．
如果作 BD⊥ y 轴于 D，那么△ AOC∽△ CDB．
设 OC＝ m，那么
3 4 m
1
m
．
这 个 方 程 有 两 个 解 ， 分 别 对 应 图 中 圆 与
y 轴 的 两 个 交
图 4
点．
例 19
2015
1年湖南省益阳市中考第
： ＝
2
21 题
2
如图 1，已知抛物线
经过点 (1, ) ，以原点为顶点的抛物线 经过点
(2,2) ，
E y x A m E
B
点 、 关于
轴的对称点分别为点′、 ′．
A B
y A B
（ 1）求 m的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式；
（ 2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B′为顶点的 三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（ 3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连结 OP并延长与抛 物线 E2 相交于点 P′，求△ PAA′与△ P′ BB′的面积之比．
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图1
图2
动感体验
请打开几何画板文件名“
15 益阳 21”，拖动点 P在抛物线 E1 上运动，可以体验到，点 P
QBB′有两个．
始终是线段 OP′的中点．还可以体验到，直角三角形
思路点拨
1．判断点 P 是线段 OP′的中点是解决问题的突破口， 这样就可以用一个字母表示点
P、
P′的坐标．
2．分别求线段 AA′∶ BB′，点 P 到 AA′的距离 ∶ 点 P′到 BB′的距离，就可以比较
△PAA′与△ P′ BB′的面积之比．
图文解析
（ 1）当 ＝1 时， ＝
2
＝ 1，所以
2
(1, 1) ， ＝1．
x
y
x
A
m
1 2
设抛物线 E2 的表达式为 y＝ ax ，代入点 B(2,2) ，可得 a＝ ．所以 y＝ x ．
2 2
（ 2）点 Q在第一象限内的抛物线 E1 上，直角三角形 QBB′存在两种情况：
1
图3
图4
① 如图 3，过点 B 作 ′的垂线交抛物线 E 于 ，那么 (2, 4)
．
1
② 如图 4，以 ′为直径的圆
D 与抛物线 E 交于点 ，那么
＝
1 2
BB ＝2．
1
2
2
2
2 2
设 Q( x, x ) ，因为 D(0, 2) ，根据 QD＝ 4 列方程 x ＋ ( x － 2) ＝ 4 ． 解得 x＝
．此时 Q
．
b ) ，′ ( c,
2
( 3,3)
（ 3）如图 5，因为点 P、P′分别在抛物线 E 、E 上，设 P( b,
1
2
3
1 2
2 ) ．
2
因为 、 、 ′三点在同一条直线上，所以
O P
P
PM OM
P N ，即 b
b ON
1 c2
2
c ．
所以 c＝ 2b．所以 P′ (2 b, 2 b2) ． 如图 6，由 A(1, 1)
2
2
、 B(2,2) ，可得 AA′＝ 2， BB′＝ 4．
由 A(1, 1) 、 P( b, b ) ，可得点 P 到直线 AA′的距离 PM ′＝ b －1．
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由 B(2,2) 、 P′(2 b, 2 b2) ，可得点 P′到直线 BB′的距离 P′ N′＝ 2b2－ 2． 所以△ PAA′与△ P′ BB′的面积比＝ 2( b2－ 1) ∶4(2 b2－ 2) ＝ 1∶ 4．
图5
图6
考点延伸
第（ 2）中当∠ BQB′＝ 90°时，求点Q( x,
2
2
2
x2) 的坐标有三种常用的方法：
方法二，由勾股定理，得 BQ＋B′ Q＝B′B．
所以 ( x－ 2) 2＋ ( x2－ 2) 2＋ ( x＋ 2) 2＋ ( x2－ 2) 2＝ 42．
方法三，作 QH⊥ B′ B 于 H，那么 QH＝ B′ H·BH． 所以 ( x2－2) 2＝ ( x＋ 2) (2 － x) ．
2
例 20
2015
年湖南省湘潭市中考第 26 题
＋
的图象与
轴交于
如图 1，二次函数
交于点 ，连结
．动点
＝ 2＋ ( －1, 0) 、 (3, 0) 两点，与 轴
y x
BC
bx c x A
B
y
以每秒 1 个单位长度的速度从点 向点 运动，动点 以每秒
C
个单位长度的速度从点
P A B Q 2
B 向点 C运动， P、Q两点同时出发， 连结 PQ，当点 Q到达点 C时，
P、
Q两点同时停止运动．设运动的时间为
（ 1）求二次函数的解析式；
t 秒．
（ 2）如图 1，当△ BPQ为直角三角形时，求
t 的值；
（ 3）如图 2，当 t ＜ 2 时，延长 QP交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 的中点恰为 MN的中点，若存在，求出点
N，使得 PQ
N的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由．
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