课题：等比数列的前n项和

教学目标：（1）知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能

运用公式解决一些简单问题；

（2）能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透

方程思想、分类讨论思想；

（3）情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：（1）等比数列的前n项和公式；

（2）等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习提问

回顾等比数列定义，通项公式。

an（1）等比数列定义：a?qn?1（n?2，q?0)

（2）等比数列通项公式：

an?a?11qn(a1,q?0)

（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入：

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。

问题:如何计算 S 64 ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? L ? 263 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨：

问题：如何求等比数列?an?的前n项和公式

Sn?a1?a2?a3?L?an

?a21?a1q?a1q?L?an?2?11q?a1qn

回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。

等差数列a1,a2?a3,?an?它的前n项和是Sn?a1?a2?a3??an

1

根据等差数列的定义an?1?an?d

Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?LL??a1?（n-1)d? （1）

Sn?an?(an?d)?(an?2d)?LL??an-（n-1)d? （2）

（1）+（2）得：2Sn?n(a1?an) Sn(a1?an)n?2 探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？

Sn?a1?a2?a3?L?an

?a1?a1q?a1q2?L?an?21q?a?11qn

Snn?an?anq?anaanq2?L?qn?2?qn?1 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。

探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？

根据等比数列的定义：

an?1a?（qn?N?) n 变形：anq?an?1

具体：a1q?a2 a2q?a3 a3q?a4 …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：

由于等比数列中的每一项乘以公比q都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

Sn?21n?a1?a1q?a1q2?L?a1q?a1qn? （1）

qSn?a1q?a21q?a1q3?L?an1qn?1?a1q （2）

由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

2

?(1)?(2)得：(1?q)Sn?a1?a1qn

当q=1时，Sn?na1

a1(1?qn)当q?1时，Sn?

1?q学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。

由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：

当q?1时， Sa1?anqn?1?q

四.知识整合:

1．等比数列的前n项和公式：

当q=1时，Sn?na1

当q?1时，Sa1(1?qn)a1?anqn?1?q ?1?q

2．公式特征：

⑴等比数列求和时，应考虑q?1 与q?1 两种情况。

⑵当q?1时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，a1,q,n,an,Sn，

五个量中“知三求二”（方程思想）。 3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

五、例题精讲：

例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.

⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.

例2．画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，

3