高中数学课程

2.3 随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望

1.理解离散型随机变量的数学期望的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出数学期望.(重点)

2.掌握二点分布、二项分布的数学期望.(重点)

3.会利用离散型随机变量的数学期望解决一些相关问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理1 离散型随机变量的数学期望 阅读教材P59～P60，完成下列问题. 1.定义

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).

2.意义

刻画了离散型随机变量的平均取值水平.

1.下列说法正确的有________(填序号).

①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；

③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4； ④随机变量X的均值E(X)＝

x1＋x2＋…＋xn

.

n

【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征.②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.③正确，由均值的性质可知.④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.

1

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【答案】 ③

2.已知离散型随机变量X的分布列为：

X P 则X的数学期望E(X)＝________. 3313

【解析】 E(X)＝1×＋2×＋3×＝.

5101023

【答案】

2

3.设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.

【导学号：62980052】

【解析】 E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35

教材整理2 常见几种分布的数学期望 阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题.

名称 公式 二点分布 E(X)＝p 二项分布 E(X)＝np 超几何分布 nME(X)＝ N

1

4，?，则E(X)的值为________. 1.若随机变量X服从二项分布B??3?14

【解析】 E(X)＝np＝4×＝.

334

【答案】

3

2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分.已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________.

【解析】 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以 E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 【答案】 0.8

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑：

1 3 52 3 103 1 10 2

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疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

二点分布与二项分布的数学期望

某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望.

【精彩点拨】 (1)利用二点分布求解.(2)利用二项分布的数学期望公式求解. 【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：

X P 则E(X)＝0.6.

(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.

1.常见的两种分布的均值

设p为一次试验中成功的概率，则 (1)二点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np.

熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度. 2.二点分布与二项分布辨析

(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生. (2)不同点：

①随机变量的取值不同，二点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.

②试验次数不同，二点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验.

0 0.4 1 0.6 3