P25习题

24．设A?{a,b,c},B?{e,f,g,h},C?{x,y,z}。求A?B,B?A,A?C,A2?B。

25．设A,B为集合，试证：A×B＝B×A的充要条件是下列三个条件至少一个成立：（1）A??；（2）B??；（3）A?B。

26．设A,B,C,D为任四个集合，证明：(AB)?(C

29．设A,B,C是三个任意集合，证明：A?(B?C)?(A?B)?(A?C)。

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D)?(A?C)(B?D)

30．设A,B为集合，下列命题哪些为真？

（1）(x,y)?A?B?x?A且y?B； （2）(x,y)?A?B?x?A或y?B； （3）2A?B?2A?2B； （4）若A?C?B?C，则A?B； （5）若A?C?B?C,C??，则A?B。

答案：

31．设A有m个元素，B有n个元素，则A×B是多少个序对组成的？A×B有多

少个不同的子集？

32．设A,B是两个集合，B??，试证：若A?B?B?B，则A?B。

P33习题

33.某班学生中有45％正在学德文，65％正在学法文。问此班中至少有百分之几

的学生正同时学德文和法文？

35．设A,B是两个有限集，试求22

A?B??

7

第二章 映射习题

P39习题

1. 设A，B是有穷集，A?m,B?n。则 （1）计算AB；（2）从A到A有多少个双射？

P43习题

3. 证明：从一个边长为1的等边三角形中任意选5个点，那么这5个点中必有2个点，它们之间的距离至多为1/2，而任意10个点中必有2个点其距离至多是1/3。

4.已知m个整数a1,a2,am，试证：存在两个整数k,,0?k＜?m，使得

ak?1?ak?2?

?a能被m整除。

5. 证明在52个整数中，必有两个整数，使这两个整数之和或差能被100整除。

8

6.设a1,a2,,an为1,2,3,,n的任一排列，若n是奇数且

(a1?1)(a2?2)则乘积为偶数。

(an?n)?0，

P46习题

7.设f:X?Y，C,D?Y，证明f?1(C\\D)?f?1(C)\\f?1(D)

8. 设f:X?Y，A,B?X，，证明f(A\\B)?f(A)\\f(B)。

10.设f:X?Y,A?X,B?Y。以下四个小题中，每个小题均有四个命题，这四个命题有且仅有一个正确，请找出正确的那个。

（1）（a）若f(x)?f(A)，则x未必在A中；（b）若f(x)?f(A)，则x?A；

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（c）若f(x)?f(A)，则x?A； （d）若f(x)?f(A)，则x?Ac。 （2）（a）f(f?1(B))?B； （b）f(f?1(B))?B；

（c）f(f?1(B))?B； （d）f(f?1(B))?Bc。 （3）（a）f?1(f(A))?A； （b）f?1(f(A))?A；

（c）f?1(f(A))?A； （d）上面三个均不对。 （4）（a）f(A)??； （c）若y?Y,则f?1(y)?x； 答案：

12．设f:X?Y，证明：

（1）f是单射??F?2X,f?1(f(F))?F；

（2）f是满射??E?2Y,f(f?1(E))?E。

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b）f(B)??；

d）若y?Y,则f?1(y)?x。 （（