P50习题

15. 设X?{a,b,c},Y?{0,1},Z?{2,3},f:X?Y,f(a)?f(b)?0，

f(c)?1;g:Y??，g(0)?2,g(1)?3，试求gf。

P55习题

17．设N?{1,2,3,}，试构造两个映射f和g：N?N，使得

（1）fg?IN，但gf?IN；（2）gf?IN，但fg?IN。

18.设f:X?Y则

（1）若存在唯一的一个映射g:Y?X，使得gf?IX，则f是可逆的吗？ （2）若存在唯一的一个映射g:Y?X，使得fg?IY，则f是可逆的吗？

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19.设f:X?Y,X?m,Y?n，则

（1）若f是左可逆的，则f有多少个左逆映射？ （2）若f是右可逆的，则f有多少个右逆映射？

20. 是否有一个从X到X的一一对应f，使得f?f?1，但f?IX？

P63习题

?12345??12345??1?121.设?1???，?2＝??，求?1?2,?2?1,?1,?2。

?43215??32514?

?123456789?22.将置换??分解成对换的乘积。

?791652348?

3.设?是任一n次置换，试证：?与??1的奇偶性相同。

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第三章 关系习题

P86习题

1.给出一个既不是自反的又不是反自反的二元关系？

2.是否存在一个同时不满足自反性，对称性，反对称性，传递性和反自反性的 二元关系？

3.设R，S是X上的二元关系，下列命题哪些成立： a)若R与S是自反的，则RS,RS分别也是自反的； b) 若R与S是对称的，则RS,RS分别对称的； c) 若R与S是传递的，则RS也是传递的；

d) 若R与S不是自反的，则RS也不是自反的；

e) 若R与S是反自反的，则RS,RS也是反自反的； f) 若R是自反的，则Rc也是反自反的；

g) 若R与S是传递的，则R\\S是传递的。 答案：

4.实数集合上的“小于”关系?是否是反自反的？集合X的幂集上的“真包含”关系?是否是反自反的？为什么？

5.设R、S是X上的二元关系。证明：

（1）(R?1)?1?R； （2）(RS)?1?R?1S?1； （3）(RS)?1?R?1S?1； （4）若R?S，则R?1?S?1；

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6．设R是X上的二元关系，证明：RR?1是对称的二元关系。

7．设R为X上的是反自反的和传递的二元关系,证明：R是反对称的。

8．设R是X上的任一二元关系，证明：R是反对称的?R?R?1?IX。

9.有人说：“若R是X上的二元关系，只要R是对称的和传递的，则R必是自反的。”他的证明如下：若xRy，则由R的对称性便知有yRx。于是由xRy和yRx以及R的传递性即得xRx。所以，R是自反的。他的推论错在什么地方？这个结论是否对呢？

P92习题

9.“父子“关系的平方是什么关系？

10.设X={1,2,3,4},R={(1,2),(2,2),(3,4)},S={(2,3),(3,1),(4,2)}

试求：RS,SR,R2,S2,R(SR),(RS)R。

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11.设R与S为X上的任两个二元关系，下列命题哪些为真？

a）若R,S都是自反的，则RS也是自反的； b）若R,S都是对称的，则RS也是对称的； c）若R,S都是反自反的，则RS也是反自反的； d）若R,S都是反对称的，则RS也是反对称的； e）若R,S都是传递的，则RS也是传递的。 答案：

12．设R1是A到B，R2和R3是B到C的二元关系，则一般情况下：

R1(R2\\R3)?(R1R2)\\(R1R3)。

但有人声称等号成立，他的证明如下：设(a,c)?R1(R2\\R3)，则?b?X，使得(a,b)?R1且(b,c)?R2\\R3。于是(b,c)?R2且(b,c)?R3。从而(a,c)?R1R2且

(b,c)?R1R3，所以(a,c)?(R1R2)\\(R1R3)，即R1(R2\\R3)?(R1R2)\\(R1R3)。同理可证相反的包含关系成立，故等式成立，这个证明错在什么地方？

13.设R，S是X上的满足RS?SR的对称关系，证明RS?SR。

P98习题

16．设R是X上的二元关系，试证：

（1）(R?)??R?,(2)(R*)*?R*,(3)RR*?R*R?R?,(4)(R?)*?(R*)??R?。

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