17．设X＝（a,b,c,d,e），R＝｛（a，b），（b,c），（c,d），（d,e）｝试求R?和R?。

18．设R,S为X上的二元关系，试证： （1）(RS)??R?

（2）(RS)??R?S?；

S?。

P113习题

25.设X?{1,2,3},Y?{1,2},S?{f|f:X?Y}。?是S上的二元关系：

?f,g?S,f?g?Im(f)?Im(g)。

证明：（1）?是S上的等价关系；（2）求等价类的集合。

26. 设X?{1,2,3},Y?{1,2},S?{f|f:X?Y}。?是S上的二元关系：

?f,g?S,f?g?f(1)?f(2)?f(3)?g(1)?g(2)?g(3)。

证明：（1）?是S上的等价关系；（2）求等价类数。

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27. 设X?{1,2,3},Y?{1,2},S?{f|f:X?Y}。?是S上的二元关系：

?f,g?S,f?g?{f?1(y)|y?Y}?{g?1(y)|y?Y}。

证明：（1）?是S上的等价关系；（2）求等价类。

?1228.由置换????36354568127?8?确定了X?{1,2,7?4,8}上的一个关系

?:i,j?X,i?当且仅当ji与j在?的循环分解式中的同一循环置换中，证明：?是X上的等价关系，求X/?。

29．给出X＝{1,2,3,4}上两个等价关系R与S，使得RS不是等价关系。

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R是等价关系?若(a,b)?R且(a,c)?R，30．设R是X上的一个自反关系，证明：

则(b,c)?R。

31．写出整数Z上的模10的同余关系的各等价类。

35．设X是一个集合，X?n，试求：

（1）X上自反二元关系的个数；（2）X上反自反二元关系的个数； （3）X上对称二元关系的个数；（4）X上自反或对称关系的个数。 答案：

P125习题

36.设[a,b]是一个有限区间。令S是区间[a,b]上的有限划分的集合，[a,b]的一个划分?是形如a?x1?x2?R如下：

?xn?b,n?N的点的集合。在S上定义二元关系

??1,?2?S,?1R?2??2的每个分点也是?1的分点。

证明：R是S上的偏序关系（注意，这里的划分与等价关系中的划分不同）。

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37.设(S,?1),(T,?2)是偏序集。在S?T上定义二元关系T,?3如下：

?(s,t),(s?,t?)?S?T，(s,t)?3(s?,t?)?(s?1s?,t?2t?)。 证明：?3是S?T上的偏序关系；

38.存在一个偏序关系?，使得(X,?)中有唯一的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体例子；若没有，请证明之。

39．令S＝｛1，2，…，12｝，画出偏序集（S,|）的Hass图，其中“|”是整除关系，它有几个极大（小）元素？列出这些极大（小）元素。

40.设R是X的自反且传递的二元关系，则 (1)给出R的一个实例；

(2)在X上定义二元关系~是：x~y?xRy,yRx。证明：~是X上的等价关系； (3)在商集X~上定义二元关系?是：[a]?[b]?aRb。证明：?是X~上的偏序关系。

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41.设R是X上的偏序关系，证明：R是X上的全序关系?X?X?R

R?1。

第四章 无穷集合及其基数习题

P125习题 1. 设A为由序列

a1,a2,,an,

的所有项组成的集合，则A是否是可数的？为什么？

2.证明：直线上互不相交的开区间的全体所构成的集合至多可数。

3.证明：单调函数的不连续点的集合至多可数。

4.任一可数集A的所有有限子集构成的集族是可数集合。

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