第六章 讨论（A）

债务偿还

1、 某人投资一笔款项，以获得n年的年末付年金，每次付1，预定年利率为i。第1年，这笔投资实际投

资利率为i，年末获得额度为1的付款，而在第2年，利率增至j，j>i，若：（1）第3年开始直到第n年，年利率又降至i；（2）直至n年末，利率保持j。计算变化后这两种情形下的年付款额。 解题提示：见讲义

2、 某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12％，贷款偿还时间及数额为第1年末400元，第

5年末800元，第10年末偿还剩余的部分，计算第10年末的偿还额及其共包含的本金和利息。 解：每季度的实际利率为12%/4=3%，偿还款发生在第4季度末、第20季度末和第40季度末，设最后一次偿还款为P，各次偿还款的现值之和等于贷款额，故而有： 1000=400（1.03）-4+800（1.03）-20+P（1.03）-40 =355.39+422.94+0.30655P P=657.86

首期偿还款中的利息部分为：1000【（1.03）4-1】=125.51（元） 因而首期偿还款中的本金部分为：400-125.51=274.49（元） 第一次还款结束后，贷款余额为1000-274.49=725.51（元） 在第二次还款时所生利息为：725.51【（1.0316）-1】=438.72（元） 因而第二次偿还款中的本金部分为800-438.72=361.28（元） 第三次偿还款中的本金部分为725.51-361.28=364.23（元）

则最后一次还款中的本金部分为364.23元，利息部分为657.86-364.23=293.61（元）

3、 甲购买住房，贷款2000 000元，分三次领取。办理贷款后，首次领取1000 000元，半年后又领取500

000元，1年末又领取500 000元。贷款按每年计息2次的年名义利率12％进行分期按月偿还，为期30年。前5年每月偿还额是其后各年每月偿还额的一半。首期偿还款发生在第3年初，计算第12次偿还款的数量。

解：两年末，贷款积累值为：

1000 000（1.0750）4+500 000(1.075)3+500 000(1.075)2=2354430.10(元)

这个积累值是分期还款额在贷款第3年初的现值，设前5年每次偿还额为P，则有

??600.01?2Pa??3000.01?2354430.10?Pav60

P=16787.12（元）

第12次付款发生在第一个还款年度，所以应该为P的值，即16787.12元。 4、有两比贷款的本金均为10 000元，期限均为5年，但偿还方式不同： 第一笔贷款：采用偿债基金法偿还，贷款利率为6％，偿债基金利率为5％。 第二笔贷款：采用等额分期法偿还。

试计算当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。

解：无论选择哪一笔贷款，如果借款人在每年末都要支付相等的金额，那就可以认为两笔贷款对借款人而言是等价的。

对于第一笔贷款，借款人在每年末需要支付的金额为

L0(i?11 )?10000(0.06?)?2409.75(元）snjs50.05 对于第二笔贷款，假设其利率为i，则借款人在每年末需要支付的金额为：

R=L010000??2409.75 i?0.06552 ania5i5、一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6％，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2 000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。

解：已知年实际利率为6%，所以季度实际利率为i?(1?0.06)0.25?1?0.01467

第一年末的付款也就是第4次付款，由式（8.1.6）可知，第一年末的付款中偿还的本金为

Rvn?k?1?R(1.01467)?(8?4?1)?0.9298R

令上式等于第一年末偿还的本金2000元，得每次偿还的金额为R=2000/0.9298=2151（元） 再次应用上式可得在第二年末（第 Rvn?k?1?2151(1.01467)?(8?8?1)?2120(元） 事实上，如果注意到每次偿还的本金Rv础，计算出第8次偿还的本金。 第4次偿还的本金为P4所以P88?8?1?Rv8?4?1?Rv5 第8次偿还的本金为P?Rv 8?Rvn?k?18次付款）偿还的本金为

是一个几何级数，就可以直接以第4次偿还的本金为基

44?P（1?i）?2000（1.01467）?2120（元） 4讨论（B）

1、 甲年初从乙银行贷款10 000元，分10年偿还，年利率10％，每年末的还款额是前一年的1.2倍。

计算前4年各期偿还款中的本金部分、利息部分和贷款余额。

解：由题意得：

1.2101?（）1.110000?R【】?13.87182R110.1?0.210000R1??720.89（元）13.87182I1?iB0?0.1*10000?1000(元）P（元）1?R1?I1?720.89?1000??279.11B0?B0?P（?279.11）?10279.11（元）1?10000?R2?1.2R1?1.2*720.89?865.07（元）以此类推P（元）2??162.84B2?10441.95（元）R3?1.2R2?1038.08（元）I3?iB2?1044.20（元）P（元）3??6.12B3?10448.07（元）R4?1.2R3?1245.70（元）I4?iB3?1044.80（元）P（元）4?200.89B4?10247.18（元）2、 某人从银行贷款20 000元。本金部分按20年期等额年金形式偿还，每次还本金的同时，偿还贷

款的当期利息，年利率为3％。10年后，银行将这种收款权卖给另家公司，卖出价格为P，使得买入公司在前5年可获5％的年收益，而后5年可获4％的年收益，计算P。

解：第1年末贷款余额为19000，第2年末为18000……，每年还款中本金部分为1000元，利息部分： 第1年末为20000*3% 第2年末为19000*3%....

P?1000[a50.05?(1.05)?5a50.04]?[150a50.05?30(Da)50.05?30(1.05)?5(Da)50.04]?1000[4.3295?(0.78353)(4.4518)]?[150(4.3295)?30(?9191.55(元）

3、 某贷款年利率为10％，期限为10年，采取分期方式连续偿还。前5年每年还款1 000元，后5

年没面还款2 000元，计算第5年偿还的贷款的本金部分和利息部分。

解：根据未来法计算第4年末的贷款余额，分为两部分，一部分是后5年的偿还款现值，这一部分在第5年内不随时间推移而变化，

5?4.32955?4.4518)?30(0.78353)()]0.050.04（）?2000a5(1.1)即V14?1?20001?v5?(1.1)?1?7231.48(元）

这部分本金在第5年产生的利息为：7231.48*0.1=723.15（元）

另一部分是第5年偿还款的现值，这一部分在第5年内随时间推移而变化，即V（）?1000a241?t

这部分贷款余额在第5年内产生的利息为：

1000????a1?tdt01?1000?1?v1?tdt01?1000(t??1000(1?1?e??(1?t))|10 )1?v??46.18(元）第5年内还款额1000元中的利息部分为： 723.15+46.18=769.33（元）

本金部分为：1000-769.33=230.67（元）

这里明确的是，贷款本金中不变的部分所产生的利息用i计算而不是瞬时值，不用?计算，而可变部分所生的利息要通过积分值将各瞬时值进行积累。另外，注意不能将不变部分与1000a简单相加再与?相

1乘即?（7231.48+1000a）作为利息值，实际计算时往往会产生这种错误，原因是没有考虑1000a这

11一部分在一年内是递减的。

4、设某人年初向银行借款10 000元，借款年利率为8％，每年复利1次，期限为6年，还款方式有以下3种：

（1）每年年末分期等额偿还；

（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率也为8％；

（3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，偿债基金存款年利率为6％。求3种方式中每年的支付量及每年的利息支付量。 解：（1）因为ani?a60.08?4.62288，并且当初始贷款为ani时，每次的支付量为1，因此当初始贷款

1000010000 ??2163.15(元）ani4.62288为10000元时，每次的偿还量应为：

其中第1次所还利息为：

10000 iani?i?10000?800(元）ani第2次至第6次所还利息分别为：

100003.9927?0.08a50.08?800?690.95(元）a60.084.62288100003.3121?0.08a40.08?800?573.17(元）a60.084.62288100002.5771?0.08a30.08?800?445.98(元）

a60.084.62288100001.7833?0.08a20.08?800?308.60(元）a60.084.62288100000.9259?0.08a10.08?800?160.23(元）a60.084.62288（2）由于偿债基金存款利率与贷款利率相同，都为8%，这时的偿债基金法与分期偿还法等价，因此，每年的支付量也为2163.15元。 每次的利息支付量都等于

10000 iani?i?10000?800(元）ani10000a60.061?(0.08?0.06)a60.0610000 ?2233.64(元）4.4770（3）由于偿债基金存款利率与贷款利率不相同，这时偿债基金法雨分期偿还法并不等价，这种情况下每年的支付量为：

10000?ani?j?5、设某人年初向银行贷款10 000元，期限6年，还款方式有以下3种： （1）以贷款年利率6％，每年年末分期等额偿还；

（2）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为6％，偿债基金存款利率也为6％； （3）每年年末支付利息并等额支付建立偿债基金，贷款年利率为8％，偿债基金存款年利率为6％。计算3种情况下，第4次偿还后贷款余额和第4期内的本金支付量或净本金支付量，并比较其结果。 解：（1）L=10000，i=0.06，n=6

R=L1000010000 ???2033.64(元）anja60.064.91736?40.066-4+1第4年末偿还后的贷款余额为B4=Ra ?2033.64?1.8334?3728.47（元） ?2033.64*(1.06)?3?1707.48(元）第4次偿还额中的本金部分为：P4=Rv（2）L=10000，i=j=0.06，n=6

R=Lani?j?1000010000 ??2033.64(元）a60.06?0.06a60.06?1000010000 an?k?a?3728.47(元）anja60.0620.06?Ln?k?110000 vj?(1.06)?3?1707.48(元）anja60.06第4年末偿还后的净贷款余额仍为NB4第4次偿还额中的净本金支付量仍为：NP4