1 “函数”概念辨析

一、表达式相同的两个函数是不是同一函数？

答 很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数．其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题．例如，f(x)＝3x＋1(x∈R)与g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数．

二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？

答 有些同学认为，两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0)，f(1)≠g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0)，故f(x)≠g(x)． 事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任意x0∈D，都有f(x0)＝g(x0)，那么f(x)＝g(x)． 三、函数的定义域可以是空集吗？

答 教材中指出：“设A，B是非空的数集，……”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．

四、y＝0是函数式吗？

答 很多同学都认为y＝0不是函数式，其理由是：函数定义中有两个变量x和y，而在y＝0中只有一个变量y.

从形式上来看，y＝0中只出现了一个变量y，但我们知道，0与任何实数的乘积仍为0，因此，变量y＝0就是y＝0·x，另一个变量x不是出现了吗？根据函数的定义，集合A＝{x|x∈R}显然满足函数的定义，即不论x取何值，y都有唯一确定的值0与之对应，因此，按函数的定义，y＝0是函数式．同理，对任意实数m，y＝m也是函数式，只要把它写成y＝m＋0·x就清楚了．

五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变

量有何限制？函数定义域如何得到？

答 可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集．

六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？

答 因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函数的解析式就是确定函数关系，在这个关系下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由定义域和解析式确定值域.

2 诠释函数“三要素”

构成函数的要素为定义域、对应法则“f”、值域三者．因此，这里我们把“定义域、对应法则、值域”称为函数的“三要素”．对于初学者来说，理解好函数的“三要素”极为重要． 在“三要素”中函数的定义域可称得上是函数的灵魂，做任何函数题都首先要考虑到函数的定义域，定义域不同，不管对应法则、值域是否相同，都是不同函数．如：(1)y＝x＋1，x∈R；(2)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x＋1，

x∈[1,5]．这三个函数是不同的函数．所以，要弄清楚函数的有关问题，首先要弄清楚其定义域． 一、定义域

1．函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示． 2．求函数定义域的方法，主要有如下三类：

(1)有函数解析式时求函数定义域：只需使函数有意义即可． x＋2例1 求y＝x＋2＋的定义域．

|x|－4

??x＋2≥0

解 由题意知?， 从而解得x≥－2且x≠4，故所求定义域为[－2,4)∪(4，＋∞)．

??|x|－4≠0

(2)没有具体解析式时，根据已知函数定义域求解，即视为整体来求解． 例2 已知函数y＝f(x＋1)的定义域为(－1,1)，求函数y＝f(x)的定义域． 解 令t＝x＋1，∵－1＜x＜1，∴0＜t＜2， ∴f(t)的定义域为(0,2)，即所求定义域为(0,2)． (3)应用题当中，需满足问题所包含的实际意义．

例3 一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，求其解析式和定义域． 解 由题意知解析式为y＝20－2x，又因为构成三角形必须有2x＞y，y＞0，x＞0，解得5＜x＜10，所以定义域为(5,10)．

特别提示 求定义域时要使每个式子都有意义，所以通常取交集． 二、对应法则

一般地说，在函数f(x)符号中，“f”表示对应法则，等式y＝f(x)表明对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，可得到值域中唯一的y值．因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，也就是函数的核心．特别地，f(a)表示自变量x＝a时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量．

例4 已知函数f(x)＝x2－2x，求f(1)、f(a)、f(2x)． 解 f(1)＝－1，f(a)＝a2－2a，f(2x)＝4x2－4x.

特别提示 对于函数来说，即使定义域相同，值域相同，对应法则不同，也是不同函数．如：(1)y＝x＋1，x∈R，(2)y＝2x＋1，x∈R，这两个函数对应法则不同，就是不同的函数． 三、值域

1．函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示． 2．值域的求法，就我们现在所学的知识而言，暂时介绍如下三种方法： (1)二次函数型利用“配方法”． 例5 求函数y＝－2x2＋4x＋6的值域．

解 由y＝－2(x－1)2＋8得函数的值域为(－∞，8]． (2)换元法(注意换元后新元的范围)． 例6 求函数y＝2x＋41－x的值域． 解 令t＝1－x，则y＝－2t2＋4t＋2＝－2(t－1)2＋4，t≥0，故所求值域为(－∞，4]．

ax＋b(3)形如y＝(a，c≠0)的函数用分离常数法．

cx＋d例7 求函数y＝

2x＋3

的值域． x＋1

2x＋32?x＋1?＋11

解 y＝＝＝2＋，

x＋1x＋1x＋1∵

1

≠0，故y≠2，∴值域为{y∈R|y≠2}． x＋1

特别提示 关于“配方法”，若有定义域加以限制的，可画出图象，利用“图象法”解决．对于值域来说，定义域和对应法则相同，值域就一定相同，即为同一函数．所以判断是否为同一函数，只需看定义域和对应法则是否相同即可．