第一讲 整数与整除的基本性质（一）

一、整数 基本知识：

关于自然数：1、有最小的自然数1；2、自然数的个数是无限的，不存在最大的自然数；3、两个自然数的和与积仍是自然数；4、两个自然数的差与商不一定是自然数。

关于整数：1整数的个数是无限的，既没有最小的整数，也没有最大的整数；2、两个整数的和、差、积仍是整数，两个整数的商不一定是整数。 十进制整数的表示方法

正整数可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中的一个或若干个组成一个排列表示，如67表示6?10?7,四位数1254可以写成1?10?2?10?5?10?4,同样地用字母表示的两位数ab?a?10?b,三位数def?d?102?e?10?f, n 位整数表示为

32anan?1an?2?a1，（其中a是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某个数字，i= n , n – 1,…,2,1,

i

n?1n?2aaa?a?a?10?a?10???a1. nn?1n?21nn?1其中an?0）并且

经典例题：

例1、用0、1、2、...、9这10个数字组成两个三位数和一个四位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能地小，那么这两个三位数及这个四位数的和是（ ）

A)1995 B)1683 C)1579 D)1401

解：为使和最小，四位数的千位应该是1，百位上的数为0，两个三位数上的百位应分别为2和3；若三个数十位上的数分别是4、5、6，则个位上的数分别是7、8、9，但7+8+9=18是个偶数，这与其和为奇数矛盾，故应调整为三个十位上的数应安排为4、5、7，个位分别为6、8、9，6+8+9为奇数，1046+258+379=1683，选 B)

例2、一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去?2，仍得原数，这个两位数是（ ）

A)26 B)28 C)36 D)38

解：设这个两位数为ab，由题意，得3(a?b)?2?10a?b，

?7a?2b?2 即 7a?2(b?1) 由于2(b?1)为偶数，?a必须为偶数，排

除C),D)又由于(b?1)是7的倍数，故选A)

（此题也可以直接来解(b?1)是7的倍数，故有b?6返回有a?2）

例3、一个两位数，加上2以后和的各数字之和只有原数字和的一半，这个两位数是（91年“缙云杯”初中数学邀请赛） _____________。

解：设这个两位数为ab，由于原数加上2后和的各数字之和比原数各数之和小，所以加上2后发生了进位，由题意，得a?1?(b?2)?10?1(a?b)，?a?b?14，又由于2b?2后有进位，?b?8或b?9同时对应的a分别为6与5，?这两个数为68或59。

例4、一个四位数与它的四个数字之和等于1991，这个四位数是_____________。 （91年南昌市初中数学竞赛题）

解：?四个数位上的数字之和最多不会超过36，?这个四位数的千位和百位数字分别是1和9，故设这个四位数为1900?10m?n，?1900?10m?n?1?9?m?n?1991，整理得11m?2n?81，又?0?m?9,0?n?9且为整数，?m?7,n?2.?这个四位数为1972。

例5、若三位数与组成该三位数的各位数字之和的比值为M（如三位数234，则

M?234），求M的最大值和最小值。

2?3?4100a?10b?c90b?99c?100?，

a?b?ca?b?c解：设这个三位数abc?100a?10b?c，M?显然

90b?99c?0，当其值为0时，即b?c?0时，M最大，其值为

a?b?c90b?99cM?100?0?100，当最大时，M最小，即b?c?9,a?1时，M最小为

a?b?c1790199100??

1919二、能被一个数整除的数的特征

基础知识：1、能被2或5整除的数，它的末位数字能被2或5整除 2、能被4或25整除的数，它的最后两位数能被4或25整除。 3、能被8或125整除的数，它的最后三位数能被8或125整除。 4、能被3或9整除的数，它的各数位上的数字之和能被3或9整除。

5、能被11整除的数，它的奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是11的倍数。 6、0能被任何非零整数整数，?1能整除任何整数。

要判断某数能否被一个合数整除，只须将这个合数分解成两个互质的约数的乘积，若这个整数能分别被这两个约数整除，则这个数能被这个合数整除。 经典例题：

例6、能被11整除的最小九位数是多少？

解：若某数可被11整除，则其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差位11的倍数，要这样的数最小，首先取1，十位取1，其余数位取0，即所求数为100000010。

例7、一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个。

解：要求这样的四位数中最大的一个，因而设这个四位数为99cd，要使99c为4的倍数，且要最大，故c?6。 ?99cd要能被9整除，?c?d?6?d能被9整除，故d?3 例8、两个三位abc,def的和abc?def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除。（第八届“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

证明：?37|(abc?def)，?abc?bcd?37m (m为整数) 又?abcdef?abc?1000?def

?abc?999?abc?def

而999?9?3?37，

?abcdef?37?27?abc?37m

?37(27?abc?m)

?37|abcdef

例9、已知一个七位自然数62xy427是99的倍数（其中x,y是0到9中的某个数字），试求950x?24y?1的值，简写出求解过程。（第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题） 题难：分析62xy427是99的倍数，而99?9?11，故62xy427分别是9和11的倍数 由被9，11数整除的数的特点而解此题。

解：?99|62xy427，?9|52xy427且11|62xy427

?6?2?x?y?4?2?7?18?3?x?y是9的倍数，