距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM． 【解答】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M， 由题意得：AC=40×10=400（米）． 在直角△ACM中，∵∠A=30°， ∴CM=AC=200米，AM=在直角△BCM中，∵tan20°=∴BM=200tan20°， ∴AB=AM﹣BM=200

﹣200tan20°=200（

﹣tan20°），

AC=200，

米．

因此A，B两地的距离AB长为200（﹣tan20°）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型． 23．（7分）（2017?呼和浩特）已知反比例函数y=（1）若点P1（

（k为常数）．

，y1）和点P2（﹣，y2）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比

例函数的性质比较y1和y2的大小；

（2）设点P（m，n）（m＞0）是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，PO=

（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+

＞0的解集．

【分析】（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据P1、

P2两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论．

（2）根据题意求得﹣n=2m，根据勾股定理求得m=1，n=﹣2，得到P（1，﹣2），即可得到﹣k2﹣1=﹣2，即可求得k的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得． 【解答】解：（1）∵﹣k2﹣1＜0， ∴反比例函数y=∵﹣＜∴y1＞y2；

（2）点P（m，n）在反比例函数y=∴n＜0，

∴OM=m，PM=﹣n， ∵tan∠POM=2， ∴

=

=2，

的图象上，m＞0，

＜0，

在每一个象限內y随x的增大而增大，

∴﹣n=2m， ∵PO=

，

∴m2+（﹣n）2=5， ∴m=1，n=﹣2， ∴P（1，﹣2）， ∴﹣k2﹣1=﹣2， 解得k=±1，

①当k=﹣1时，则不等式kx+②当k=1时，则不等式kx+

＞0的解集为：x＜﹣＞0的解集为：x＞0．

或0＜x＜

；

【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式；也考查了反比例函数和一次函数的交点．

24．（9分）（2017?呼和浩特）如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上的四个点，C是劣弧

的中点，AC与BD交于点E．

（1）求证：DC2=CE?AC；

（2）若AE=2，EC=1，求证：△AOD是正三角形；

（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点H，求△ACH的面积．

【分析】（1）由圆周角定理得出∠DAC=∠CDB，证明△ACD∽△DCE，得出对应边成比例，即可得出结论； （2）求出DC=

，连接OC、OD，如图所示：证出BC=DC=

=2

，由圆周角定理得出∠ACB=90°，

，证出△OCD、△OBC是正

由勾股定理得出AB=，得出OB=OC=OD=DC=BC=

三角形，得出∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，求出∠AOD=60°，即可得出结论；

（3）由切线的性质得出OC⊥CH，求出∠H=30°，证出∠H=∠BAC，得出AC=CH=3，求出AH和高，由三角形面积公式即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵C是劣弧∴∠DAC=∠CDB， ∵∠ACD=∠DCE， ∴△ACD∽△DCE， ∴

=

，

的中点，

∴DC2=CE?AC；

（2）证明：∵AE=2，EC=1， ∴AC=3，

∴DC2=CE?AC=1×3=3， ∴DC=

，

连接OC、OD，如图所示： ∵C是劣弧

的中点，

，

∴OC平分∠DOB，BC=DC=∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB=

=2

， ，

∴OB=OC=OD=DC=BC=

∴△OCD、△OBC是正三角形， ∴∠COD=∠BOC=∠OBC=60°，

∴∠AOD=180°﹣2×60°=60°， ∵OA=OD，

∴△AOD是正三角形；

（3）解：∵CH是⊙O的切线，∴OC⊥CH， ∵∠COH=60°， ∴∠H=30°，

∵∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴∠H=∠BAC， ∴AC=CH=3， ∵AH=3

，AH上的高为BC?sin60°=，

×=

．

∴△ACH的面积=×3

【点评】本题是圆的综合题目，考查了圆的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、三角函数、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度．

25．（10分）（2017?呼和浩特）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=﹣1和x=5对应的函数值相等．若点M在直线l：y=﹣12x+16上，点（3，﹣4）在抛物线上． （1）求该抛物线的解析式；

（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（﹣，0），试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围． （3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QH⊥x轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值．

【分析】（1）根据已知条件得到抛物线的对称轴为x=2．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣8．将（3，﹣4）代入得抛物线的解析式为y=4（x﹣2）2﹣8，即可得到结论；

（2）由题意得：C（0，8），M（2，﹣8），如图，当∠PCO=∠ACO时，过P作PH⊥y轴于H，