2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第1讲函数及其表示教案(理)(含解析)新人教A版 下载本文

(2019·贵州模拟)若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.给出下列三个函数:

1x2

①f(x)=;②f(x)=2;③f(x)=lg (x+2).

x其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A.①③ B.② C.①② D.③ 答案 B

解析 对于①,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则

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=+1,所以x0+1x0

x2且x0≠-1),显然该方程无实根,因此①不是“1的饱和函数”;对于0+x0+1=0(x0≠0,

②,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则2x0+1=2x0+2,解得x0=1,因此②是“1的饱和函数”;对于③,若存在实数x0,满足f(x0+1)=f(x0)+f(1),则lg [(x0+1)+2]=lg (x0+2)+lg (1+2),化简得2x0-2x0+3=0,显然该方程无实根,因此③不是“1的饱和函数”.

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答题启示

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解决与函数有关的新定义问题的策略

(1)根据定义合理联想,即分析有关信息,通过联想和类比、拆分或构造,可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解.

(2)捕捉解题信息,紧扣定义,根据定义与条件一步步进行推理求解.

(3)合理、巧妙的赋值,即给x,y等量一些特殊的数值,求得特殊函数值,从而将新定义的函数进行化简和转化,利用已有函数知识进一步求解.

对点训练

(2019·黄冈模拟)若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x,使得

f(-x)=f(x),则称f(x)为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )

A.f(x)=cosx C.f(x)=x-2x 答案 D

解析 A中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)=f(-x),不符合题意;B中,当

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B.f(x)=sinx D.f(x)=x-2x

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x=kπ(k∈Z)时,满足f(x)=f(-x),不符合题意;C中,由f(x)=f(-x),得x2-2x=x2+2x,解得x=0,不符合题意;D中,由f(x)=f(-x),得x3-2x=-x3+2x,解得x=0

或x=±2,满足题意,故选D.

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