第三章 平面与空间直线

§ 3.1平面的方程

1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：

（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；

（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。

解： （1）? M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：4x?3y?2z?7?0

（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又

M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：

一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。 （3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：

一般方程为：10x?9y?5z?74?0。

（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面

? AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}

均与??平行，所以??的参数式方程为： 一般方程为：2x?y?3z?2?0. 2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0.

解： ?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，

所以，它的截距式方程为：

xyz???1. ?4?24又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，

? 所求平面的参数式方程为：

3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

AX?BY?CZ?0.

证明： 不妨设A?0，

则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为： 故其方位矢量为：{?B,1,0},{?CAA,0,1}， 从而v平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：

v，{?BA,1,0},{?CA,0,1}共面? ?

AX?BY?CZ?0. 4. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求坐标.

解： ? AB?{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.

5. 求下列平面的一般方程.

⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;

⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.

B点的zx?2y?1z?1?1000?0.即z?1?0.

解:平行于x轴的平面方程为11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为

xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.

⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,

?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,

x?0y?0z?010?2?0 0∴点法式方程为51∴一般方程为2y?z?0.

同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0. ⑷?1?2??1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?,

∴该平面的法向量n??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, 因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0. (5) op??2,9,?6?.

296,cos??,cos???. 111111296则该平面的法式方程为:x?y?z?11?0.

111111???∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.

1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2?

x?4y?1z?2?8631?0，则A??写出平面的点位式方程为11?8361??26,

B?3111?2,C?1311?14,D??26?4?2?28??74，

则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0.