2000-2010年全国高中数学联赛试题一试(答案)

解析几何圆锥曲线部分

一、选择题

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2000、已知点A为双曲线x?y=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 【答】（ ） (A)

333 (B) (C) 33 (D) 63 322002．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这

43169样的点P共有【答】（ ）

xyx2y2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2003. 设a,b?R,ab?0,那么直线ax?y?b?0和曲线bx?ay?ab的图形是【答】（ ）

22

2003. 过抛物线y?8?x?2?的焦点F作倾斜角为60的直线. 若此直线与抛物线交于A，B

2?两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ） （A）

16816 (B) (C)3 (D) 83 3332(x,y)|x2004、已知M=??2y2?3，N=?(x,y)|y?mx?b?，若对于所有的m?R，均有

?M?N??,则b的取值范围是【答】（ ）

A．[

?232323236666?,?,,?,33） D。[33] 22] B。（22）C。（

x2y2??1表示的曲线是【答】2005. 方程（ ）

sin2?sin3cos2?cos3

A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线 C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线

2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是【答】（ ）

二、填空题

x2y22000、在椭圆2?2?1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若

ab该椭圆的离心率是

5?1，则∠ABF=_________. 2x2y2??1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:PF2?2:1，则2003．设F1,F2是椭圆94?PF1F2的面积等于_____________.

2005.若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两个顶点在抛物线y?x上.则该正方形面积的最小值为 .

2x2y2x?3y?8?23?0??1的左右焦点分别为F1与F2，2006. 已知椭圆点P在直线l：

164上. 当?F1PF2取最大值时，比

x2a2PF1PF2的值为 .

2009.椭圆

+y2b2=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP?OQ，则乘积|OP|?|OQ|的

最小值为_____________．

2009．已知直线L：x?y?9?0和圆M：2x?2y?8x?8y?1?0，点A在直线L上，

22B、C为圆M上两点，在△ABC中，?BAC?45?，AB过圆心M，则点A横坐标范围

为

2010.双曲线x?y?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．

22三、解答题

x2y22000、已知C0:x+y=1和C1:2?2?1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，

ab对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

2

2002．已知点A(0，2)和抛物线y=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．

2

2