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高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数

(一) 向量及其线性运算

1、 向量,向量相等,单位向量,零向量,向量平行、共线、共面; 2、 线性运算:加减法、数乘;

3、 空间直角坐标系:坐标轴、坐标面、卦限,向量的坐标分解式;

??4、 利用坐标做向量的运算:设a?(ax,ay,az),b?(bx,by,bz),

???则 a?b?(ax?bx,ay?by,az?bz), ?a?(?ax,?ay,?az);

5、 向量的模、方向角、投影:

1) 2) 3)

向量的模:

?r?x2?y2?z2;

两点间的距离公式:

AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2方向角:非零向量与三个坐标轴的正向的夹角?,?,?

xyz?, cos???, cos???4) 方向余弦:cos??rrr

cos2??cos2??cos2??1

?????5) 投影:Prjua?acos?,其中?为向量a与u的夹角。

(二) 数量积,向量积

1、

????bcos?数量积:a?b?a

???21)a?a?a

????2)a?b?a?b?0

.

.

??a?b?axbx?ayby?azbz

???2、 向量积:c?a?b

?????bsin?,方向:a,b,c符合右手规则 大小:a???1)a?a?0

?????2)a//b?a?b?0

???ijk??a?b?axayaz

bxbybz????运算律:反交换律 b?a??a?b

(三) 曲面及其方程 1、 2、

曲面方程的概念:

S:f(x,y,z)?0

旋转曲面:(旋转后方程如何写)

yoz面上曲线C:f(y,z)?0,

22yf(y,?x?z)?0 绕轴旋转一周:

z轴旋转一周:

f(?x2?y2,z)?0

3、 柱面:(特点)

??F(x,y)?0F(x,y)?0表示母线平行于z轴,准线为?的柱面

??z?04、

二次曲面(会画简图)

.

.

1)

xy2??z椭圆锥面: a2b2x2y2z2?2?2?1 2椭球面:abc222)

x2y2z2?2?2?1 2旋转椭球面:aac3)

x2y2z2?2?2?1 2*单叶双曲面:abcx2y2z2?2?2?1 2*双叶双曲面:abc4)

5)

xy?2?z 2椭圆抛物面:ab226)

x2y2?2?z 2*双曲抛物面(马鞍面):abx2y2?2?1 2椭圆柱面:abxy?2?1 2双曲柱面:ab2?ay 抛物柱面:x227)

8)

9)

(四) 空间曲线及其方程

1、

.

??F(x,y,z)?0一般方程:?

??G(x,y,z)?0.

2、

?x?x(t)?x?acost????y?y(t)参数方程:?,如螺旋线:?y?asint?????z?z(t)?z?bt空间曲线在坐标面上的投影

3、

??F(x,y,z)?0?,消去z??G(x,y,z)?0

(五) 平面及其方程(法向量) 1、

点法式方程:

??H(x,y)?0,得到曲线在面xoy上的投影?

??z?0A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0

? 法向量:n?(A,B,C),过点(x0,y0,z0)

2、

一般式方程:

Ax?By?Cz?D?0(某个系数为零时的特点)

xyz???1

截距式方程:

abc3、

??n?(A,B,C)n两平面的夹角:1111,2?(A2,B2,C2),

cos??A1A2?B1B2?C1C2A?B?C?A?B?C21212122222 2?1??2? A1A2?B1B2?C1C2?0 A1B1C1???1//?2?

A2B2C24、

P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离:

A?B?C222d?Ax0?By0?Cz0?D

(六) 空间直线及其方程(方向向量)

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1、

??A1x?B1y?C1z?D1?0一般式方程:?

??A2x?B2y?C2z?D2?0

x?x0y?y0z?z0??2、 对称式(点向式)方程:

mnp?s 方向向量:?(m,n,p),过点(x0,y0,z0)

3、

4、

?x?x0?mt??y?y0?nt参数式方程:?

???z?z0?pt??两直线的夹角:s1?(m1,n1,p1),s2?(m2,n2,p2),

cos??m1m2?n1n2?p1p2m?n?p?m?n?p21212122222 2L1?L2? m1m2?n1n2?p1p2?0

L1//L2?

5、

m1n1p1??m2n2p2

直线与平面的夹角:直线与它在平面上的投影的夹角,

sin??Am?Bn?CpA?B?C?m?n?p222222

L//?? Am?Bn?Cp?0

L???

ABC??mnp

.