小学奥数专题——第1讲:相遇问题与追及问题(老师版) 下载本文

第1讲:相遇问题与追及问题

1、速度的定义:

速度就是单位时间内所经过的路程。

2、速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量,它们的关系如下:

路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度

3、行程问题中常用的数量单位 (1)常用的路程单位:米、千米。

(2)常用的时间单位:秒、分钟和小时。

(3)常用的速度单位:米/秒、米/分、千米/小时。

【例1】甲、乙两地相距360千米,一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地,那么汽车每小时应该行驶多少千米?实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障,在途中停留了1小时.如果按照原定的时间到达乙地,汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米?

【例1】45千米/时;60千米/时

详解:(1)行驶路程是360千米,行驶时间是8小时,所以行驶速度是360÷8=45千米/时;

(2)后一半路程是360÷2=180千米,行驶总时间仍然是8小时,前半程花了

4+1=5小时,所以后半程行驶时间是3小时,后半程的速度是180÷3=60千米/时.

【例2】A、B两地相距4800米,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行如果甲每分钟走60米,乙每分钟走100米,请问: (1)甲从A走到B需要多长时间?

(2)两个人从出发到相遇需要多长时间?

【例2】(1)80分钟;(2)30分钟

详解:(1)甲行驶的路程是4800米,行驶的速度是60米/分,所以行驶的时间是4800÷60=80分钟;(2)两人从出发到相遇行驶的路程和是4800米,行驶的速度和是60+100=160米/分,所以相遇时间是4800÷160=30分钟.

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1、墨莫练习慢跑,12分钟跑了3000米,按照这个速度,跑25000米需要多少分钟?如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟,连续跑一个月(30天),他一共跑了多少千米?

1、100分钟;75千米

解答墨莫跑的速度为3000÷12=250米/分,跑25000米需要25000÷250=100分钟.每天跑10分钟,跑一个月,一共跑了250×10×30=75000米,即75千米.

2、兔子和乌龟赛跑,从A地跑到B地,全程共6000米.兔子计划5分钟跑完全程,结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程比计划的要少200米.那么兔子实际跑完全程用了多长时间?

2、6分钟

简答:原计划5分钟跑完6000米,所以原计划速度为6000÷5=1200米/分,实际每分钟跑1200-200=1000米,所以实际时间为6000÷1000=6分钟.

3、阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B两地同时出发,相向而行.如果阿呆每分钟走150米,阿瓜每分钟走350米,那么两人从出发到相遇需要多长时间?

3、10分钟

简答:从出发到相遇,路程和为5000米,速度和为150+350=500米/分,所以相遇时间为5000÷500=10分钟

两个运动物体在一条直线上运动,行进的方向可能相同,也可能相反。当它们行进方向相反时,如果它们面对面地接近,我们称为“相向而行”;如果它们背对背远离,我们就称为“相背而行”。

相遇问题关心的是两个移动物体的“速度和”以及“路程和”。根据行程问题基本公式,我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式:

路程和=速度和×相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和 速度和=路程和÷相遇时间 使用上述公式的时候一定要注意,两个运动物体必须同时行进。如果相遇过程中并不是同时行进的,这个公式就不能直接用了,需要分段考虑。

对于一些复杂的行程问题,单靠凭空想象已经无能为力了,这时需要用一种形象的语言,把运动过程直观地表现出来,这就是我们解行程问题的最得力的助手——线段图。

画线段图时要特别注意:

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(1)专人专线:如果我们考虑的是两个或多个对象的运动,可以把它们的运动路线并排摆放, 要注意不同人的运动路线不同;

(2)同时性:如果运动时间分为几个阶段,那么应该在运动路线上表示相应的时刻.

比如上图表示汽车A与汽车B分别从甲地、乙地同时出发,从开始@时刻到@时刻两车相

遇,从@时刻到@时刻表示两车相遇后各自的运动情况.这样一来,我们就可以借助线段图把 整个行程过程看得更清楚.

画线段图是解行程问题最基本的方法.通过作图,可以将题目中的条件梳理清楚,还可以

通过对图形的观察,挖掘出很多字面上看不出来的隐藏条件,进而找到解题的突破口.

【例3】一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地出发相向而行,公共汽车每小时行40千米,小轿车每小时行60千米.请问:

(1)2小时后两车相距多少千米?

(2)出发几小时后两车第一次相距50千米? (3)出发几小时后两车第二次相距50千米?

【例3】(1)150千米;(2)3小时;(3)4小时 详解:(1)两车的速度和是40+60=100千米/时,行驶时间是2小时,所以两车的路程和是l00×2=200千米,两车相距350-200=150千米; (2)两车第一次相距50千米,两车还没有相遇,两车行驶的路程和是350-50=300千米,两车行驶的速度和是40+60=100千米/时,行驶时间是300÷100=3小时; (3)两车相遇后继续行驶,第二次相距50千米时,两车行驶的路程和是350+50=400千米,两车行驶的速度和是40+60=100千米/时,行驶时间是400÷100=4小时.

【例4】甲、乙两地相距350千米,一辆汽车早上8点从甲地出发,以每小时40千米的速度开往乙地,2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地.请问:什么时候两车在途中相遇?

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