高中数学常用公式及常用结论-掌门1对1

1. 元素与集合的关系

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

?A?CUB???CUA?B?R

5．集合{a1,a2,?,an}的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??间的两端点处取得，具体如下：

12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q 对任何x， 不成立 存在某x， 成立 p且q nnnnb处及区2a反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q ?p或?q

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件

（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.

1

（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?b; 221. 若f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性

(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x).

(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2?f(a?b?mx)?f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图

象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)?b?f?1(b)?a.

30.分数指数幂 (1)amn?1nam（a?0,m,n?N，且n?1）.

? 2

(2)a?mn?1amn（a?0,m,n?N?，且n?1）.

31．根式的性质 （1）(na)n?a.

（2）当n为奇数时，nan?a； 当n为偶数时，nan?|a|??32．有理指数幂的运算性质 (1) ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q). (2) (ar)s?ars(a?0,r,s?Q).

(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).

p

注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

?a,a?0.

??a,a?0logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).

34.对数的换底公式

logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).

logmann推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).

mlogaN?35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;

M?logaM?logaN; N(3)logaMn?nlogaM(n?R).

(2) loga36.设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为

2R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要

单独检验.

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an??s?s,n?2?nn?140.等差数列的通项公式

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 2241.等比数列的通项公式

an?a1qn?1?

a1n?q(n?N*)； q3

其前n项的和公式为

?a1(1?qn),q?1?sn??1?q

?na,q?1?144．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.

?2(3) |sinx|?|cosx|?1.

)，则1?sinx?cosx?2. 45.同角三角函数的基本关系式

sin2??cos2??1，tan?=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin?，tan??cot??1. cos?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?

n?2co?s,n??(?1) cos(??)??n?12?(?1)2si?n,?47.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

tan??tan?tan(???)?.

1?tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);

cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.

asin??bcos?=

b定,tan?? ).

a48.二倍角公式

a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

sin2??sin?cos?.

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.

2tan?tan2??. 21?tan?50.三角函数的周期公式

函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2??；函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T?51.正弦定理

?. ?4

abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理

a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.

53.面积定理

111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

222????????2????????21(|OA|?|OB|)?(OA?OB). (3)S?OAB?2（1）S?54.三角形内角和定理

在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

?C?A?B???2C?2??2(A?B). 22257.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).

???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).

(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).

63.两向量的夹角公式

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).

cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

64.平面两点间的距离公式

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