第三章 3.2 第3课时

一、选择题

1．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是( )

1111A．≤4 B．x＋y≥1

x＋yC．xy≥2

1D．xy≥1

[答案] B

[解析] 取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．

11

具体比较如下：∵0

x＋y41111x＋y2xy21111

xy≤4，∴xy≥4∴D不对；x＋y＝xy≥xy＝，∵≥2，∴x＋y≥1.

xyxy

2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是( ) A．100 B．50 C．20 D．10 [答案] B

m2＋n2

[解析] 由m2＋n2≥2mn得，mn≤2＝50，等号在m＝n＝52时成立，故选B． 3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( ) 11A．ab>2 C．ab≥2

11B．a＋b≤1 11D．≤8 a2＋b2

[答案] D

[解析] ∵a>0，b>0，a＋b＝4， a＋b

∴ab≤2＝2， 11

∴ab≤4，∴ab≥4，

11a＋b4

∴a＋b＝ab＝ab≥1，故A、B、C均错，选D．

11

[点评] 对于D有，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥16－2×4＝8，∴≤8.

a2＋b24．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为( ) A．18 B．12 4C．23 D．3

[答案] A

[解析] ∵x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y ≥23x·32y＝23x＋2y＝234＝18，

- 1 -

等号在3x＝32y即x＝2y时成立．

∵x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.

5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为( ) 3

A．7 B．39

C．1＋22 D．5 [答案] A

[解析] 由已知得x＋3y＝2， 3x>0,27y>0，

∴3x＋27y＋1≥23x＋3y＋1＝6＋1＝7， 当且仅当3x＝27y， 1

即x＝1，y＝3时等号成立．

6．(2013·福建文，7)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] B．[－2,0]

C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] [答案] D

[解析] ∵2x＋2y≥22x＋y，∴22x＋y≤1，

1

∴2x＋y≤4＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D． 二、填空题

xy

7．已知x、y∈R＋，且满足3＋4＝1，则xy的最大值为________． [答案] 3

xy

[解析] ∵x>0，y>0且1＝3＋4≥2

xy12，

xy3

∴xy≤3，当且仅当3＝4，即x＝2，y＝2时取等号．

8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________ 1

[答案] 2(a－b)2

[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给a2＋b2a＋b

读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式2≥(2)2更简捷． ∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[

x－a＋b－x

]2＝2

a－b2

. 2

a＋b

当且仅当x－a＝b－x，即x＝2时，上式等号成立． a＋ba－b2

∴当x＝2，ymin＝. 2三、解答题

ab

9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，x＋y＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．

- 2 -

ab

[解析] x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(x＋y) aybx

＝a＋b＋x＋y≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2， aybxy等号在x＝y即x＝

b

a时成立．

∴x＋y的最小值为(a＋b)2＝18， 又a＋b＝10，∴ab＝16.

∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根， ∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.

一、选择题

?1??1?1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则a2－1b2－1的最小值为( ) ????

A．6

C．8 [答案] [解析]

B．7 D．9 D

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

11

∴ab≤4，等号在a＝b＝2时成立．

?1??1?1－a21－b2∴a2－1b2－1＝a2·b2 ????

＝

1＋a·b1＋b

·b2a2

a1＋a1＋b

＝ ab

2＋ab22

＝ab＝ab＋1≥1＋1＝9，故选D．

4

11

2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则a＋b的最小值为( ) 11A．4 B．2 C．2 D．4 [答案] D

[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1， 11?11?ba∴a＋b＝a＋b(a＋b)＝1＋1＋a＋b ??≥2＋2ba1×＝4 (等号在a＝b＝ab2时成立)．

故所求最小值为4，选D．

1

3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )

x－1

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