《微观经济学：原理与模型》

第三篇 企业经济行为

第八章 生产函数

第五节 生产函数与技术进步

===================== ===================== 附：一般生产函数的一般性质

在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫做生产函数。

它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。

假设厂商的产出Y由厂商投入资本存量K(t)和劳动力L(t)来生产，这个过程由函数Y(t)?F(K(t),L(t))给出。假设函数F(?,?):R?R?R是二阶连续可微的，并且满足：

A1．F(0,L(t)?0,F(K(t),0)?0，即没有资本投入或者没有劳动力投入都不可能生产出产品。这也是人们通常讲的“没有免费的午餐!”

A2．函数F(?,?)对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。由生产函数的可微性，假设A2可以表示为

?F(K,L)?F(K,L)?0,?0 ?K?L

A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的??0，有

F(?K(t),?L(t))??F(K(t),L(t))

假设A3告诉我们，如果把所有的投入同时提高?倍，总的产出也会相应地提高?倍。在生产函数的连续可微性假设下，由假设A3可以得到下面的Euler方程：

F(K(t),L(t))??F(K,L)?F(K,L)K?L ?K?L Euler方程告诉：在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。

A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划

(K1,L1),(K2,L2)和任意的??[0,1]有

F(?K1(t)?(1??)K2(t),?L1(t)?(1??)L2(t))?min{F(K1,L1),F(K2,L2)}

条件A4等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因此通常用更强的条件来代替：

A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划

(K1,L1),(K2,L2)和任意的??(0,1)，有

F(?K1(t)?(1??)K2(t),?L1(t)?(1??)L2(t))??F(K1,L1)?(1??)F(K2,L2)

在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的Hessian矩阵是负定的。同时也可以得到

?2F(K,L)?0,?K2?2F(K,L)?0 ?L2 因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。

A5．生产函数满足Inada条件，即

K??K?0limFK(K,L)?0,limFL(K,L)?0K??L?0limFK(K,L)??,limFL(K,L)??

假设A5表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产率充分大。

例如：对任意的??0，??0，考虑生产函数：

F(K,L)??(aK???(1?a)L)???1?

可以验证上面函数满足条件A1~A3，A4?和A5。我们通常所讲的Cobb-Douglas生产函数

Y(t)?A(t)K(t)?L(t)?