第十四章 整式乘除与因式分解

知识点归纳：

一、幂的运算：

1、同底数幂的乘法法则：am?an?am?n（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：(a?b)2?(a?b)3?(a?b)5

2、幂的乘方法则：(am)n?amn（m,n都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(?35)2?310

幂的乘方法则可以逆用：即amn?(am)n?(an)m 如：46?(42)3?(43)2 3、积的乘方法则：(ab)n?anbn（n是正整数）。积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（?2x3y2z)5=(?2)5?(x3)5?(y2)5?z5??32x15y10z5

4、同底数幂的除法法则：am?an?am?n（a?0,m,n都是正整数，且m?n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4?(ab)?(ab)3?a3b3 5、零指数； a0?1，即任何不等于零的数的零次方等于1。 二、单项式、多项式的乘法运算：

6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：?2x2y3z?3xy? 。

7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式)。如：2x(2x?3y)?3y(x?y)= 。 8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 9、平方差公式：(a?b)(a?b)?a2?b2注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：(x?y?z)(x?y?z) = 10、完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样。

22公式的变形使用：（1）a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab；(a?b)?(a?b)?4ab

(?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2 ；(?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2

（2）三项式的完全平方公式： (a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc

11、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 如：?7a2b4m?49a2b

12、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：(am?bm?cm)?m?am?m?bm?m?cm?m?a?b?c

三、因式分解的常用方法． 1、提公因式法

（1）会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法

运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2

3、在数学学习过程中，学会利用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。 如：对于任意自然数n，(n?7)2?(n?5)2都能被动24整除。 练习题

1．若2am?2nb7?a5bn?2m?2的运算结果是3a5b7，则m?n的值是（ ）

A．-2 B．2 C．-3 D．3

2．若a为整数，则a2?a一定能被（ ）整除

A．2 B．3 C．4 D．5 3．若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于…………………( )

A.3

B.-5

C.7.

D.7或-1

4．如图，矩形花园ABCD中，AB=a，AD=b，花园中建有一条矩形道路LMQP及一条平行四边形道路RSTK，若LM=RS=c，则花园中可绿化部分的面积为（ ） A．bc?ab?ac?b2 B．a2?ab?bc?ac C．ab?bc?ac?c2 D．b2?bc?a2?ab 5

．

分

解

因

式

：

a2?1?b2?2ab?__________________________.

6. 3x(7-x)=18-x(3x-15)；

7. (x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).

8.xm?3,xn?2，求x3m?2n、x3m?2n的值