2018-2019年数学高中学业水平考试模拟试卷(一) 下载本文

?π??

+3sin 2ωx=2sin?2ωx+??. 6??

?π??

所以f(x)=2sin?2ωx+??. 6??

因为函数f(x)的最小正周期为π,所以T=答案:1

2ω=π,所以ω=1.

三、解答题(本大题共2小题.每小题12分,满分24分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)

20.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,asin A+csin C-2asin C=bsin B.

(1)求B;

(2)若A=75°,b=2,求a、c. 解:(1)由正弦定理得a2+c2-2ac=b2. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B. 故cos B=

2

,又0°<B<180°,因此B=45°. 2

(2)sin A=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=2+62+6sin A

.故a=b·==1+3, 4sin B2sin 60°sin Cc=b·=2·=6.

sin Bsin 45°

21.(12分)如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分

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别是AB,PC的中点.

(1)求证:MN⊥CD;

(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD. 证明:(1)如图,连接AC,AN,BN, 因为PA⊥平面ABCD,

所以PA⊥AC,在Rt△PAC中,N为PC中点, 1

所以AN=PC.因为PA⊥平面ABCD,

2所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,

从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,

1

所以BN=PC.所以AN=BN,所以△ABN为等腰三角形,又M

2为底边的中点,所以MN⊥AB,又因为AB∥CD,所以MN⊥CD.

(2)连结PM、MC,因为∠PDA=45°,PA⊥AD,所以AP=AD. 因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC,所以PA=BC. 又因为M为AB中点,所以AM=BM.而∠PAM=∠CBM= 90°,所以PM=CM.

又N为PC的中点,所以MN⊥PC.

由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,所以MN⊥平面PCD.

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