鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解 下载本文

中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)组成的。已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段? 7.用1元钱买4分,8分,1角的邮票共15张,问最多可以买1角的邮票多少张? 二、\两数之差\的问题

鸡兔同笼中的总头数是\两数之和\如果把条件换成\两数之差\又应该怎样去解呢

例7 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张?

解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(张),

这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张。 因此8分邮票有 40+30=70(张).

答:买了8分的邮票70张,4分的邮票30张。 也可以用任意假设一个数的办法.

解二:譬如,假设有20张4分,根据条件\分比4分多40张\那么应有60张8分。以\分\作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560.

比680少,因此还要增加邮票。为了保持\差\是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).

因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).

例8 一项工程,如果全是晴天,15天可以完成。倘若下雨,雨天比晴天多3天, 工程要多少天才能完成

解:类似于例3,我们设工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法,晴天有 (150-8×3)÷(10+8)= 7(天). 雨天是7+3=10天,总共 7+10=17(天).

答:这项工程17天完成。

请注意,如果把\雨天比晴天多3天\去掉,而换成已知工程是17天完成,由此又回到上一节的问题.差是3,与和是17,知道其一,就能推算出另一个。这说明了例7,例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是\两数之和\如果把条件换成\两数之差\又应该怎样去解呢 例9 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只? 解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是

(100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是 100-38=62(只). 答:鸡62只,兔38只。

当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法。

解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是 4×50-2×50=100,

比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是50-12=38(只).

另外,还存在下面这样的问题:总头数换成\两数之差\总脚数也换成\两数之差\

例10 古诗中,五言绝句是四句诗,每句都是五个字;七言绝句是四句诗,每句都是七个字。有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首,总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首?

解一:如果去掉13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差 13×5×4+20=280(字).

每首字数相差 7×4-5×4=8(字). 因此,七言绝句有 280÷(28-20)=35(首).

五言绝句有35+13=48(首).

答:五言绝句48首,七言绝句35首。

解二:假设五言绝句是23首,那么根据相差13首,七言绝句是10首.字数分别是20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句的字数,反而多了

460-280=180(字).与题目中\少20字\相差180+20=200(字). 说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首,增加一首五言绝句,也要增一首七言绝句,而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加 200÷8=25(首).五言绝句有23+25=48(首). 七言绝句有 10+25=35(首).

在写出\鸡兔同笼\公式的时候,我们假设都是兔,或者都是鸡,对于例7,例9和例10三个问题,当然也可以这样假设。现在来具体做一下,把列出的计算式子与\鸡兔同笼\公式对照一下,就会发现非常有趣的事.

例7,假设都是8分邮票,4分邮票张数是 (680-8×40)÷(8+4)=30(张). 例9,假设都是兔,鸡的只数是 (100×4-28)÷(4+2)=62(只).

10,假设都是五言绝句,七言绝句的首数是 (20×13+20)÷(28-20)=35(首).

首先,请读者先弄明白上面三个算式的由来,然后与\鸡兔同笼\公式比较,这三个算式只是有一处\成了\其奥妙何在呢

当你进入初中,有了负数的概念,并会列二元一次方程组,就会明白,从数学上说,这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。 例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只? 解:如果没有破损,运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只). 答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶。 请你想一想,这是\鸡兔同笼\同一类型的问题吗

例12 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分? 解一:如果小明第一次测验24题全对,得5×24=120(分).那么第二次只做对30-24=6(题)得分是 8×6-2×(15-6)=30(分). 两次相差 120-30=90(分).

比题目中条件相差10分,多了80分。说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得5+1=6(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16(分). (90-10)÷(6+10)=5(题).