2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

221．已知集合A?(x,y)x?y?1，B??(x,y)y?x?，则A??B中元素的个数为（）

A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B

【解析】A表示圆x2?y2?1上所有点的集合，B表示直线y?x上所有点的集合，

故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，故选B.

2．设复数z满足(1?i)z?2i，则z?（） 1A．

2【答案】C

B．

2 2

C．2

D．2

【解析】由题，z?2i?1?i?2i2i?2???i?1，则z?12?12?2，故选C. 1?i?1?i??1?i?2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

2014年 2015年 2016年

根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A

【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

4．(x?y)(2x?y)5的展开式中x3y3的系数为（）

A．??? B．??? C．40 D．80 【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为

23333x?C5?2x???y??y?C35?2x???y??40xy，则xy的系数为40，故选C.

2332

x2y2x2y255．已知双曲线C：2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线方程为y??1有公共x，且与椭圆?ab1232第 1 页 共 23 页

焦点．则C的方程为（）

x2y2x2y2A．?B．??1 ?1

81045【答案】B

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y?

x2y2C．??1

54

x2y2D．??1

435b5① x，则?a22

x2y2?1与双曲线有公共焦点，易知c?3，则a2?b2?c2?9② 又∵椭圆?123x2y2?1，故选B. 由①②解得a?2,b?5，则双曲线C的方程为?45π6．设函数f(x)?cos(x?)，则下列结论错误的是（）

3A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x??)的一个零点为x?【答案】D

π 6

B．y?f(x)的图像关于直线x?πD．f(x)在(,π)单调递减

28π对称 3π?π?【解析】函数f?x??cos?x??的图象可由y?cosx向左平移个单位得到，

3?3??π?如图可知，f?x?在?,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D.

?2?y ???

??-O?6???x7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）

A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

t S M

0 100 1 初始状态

100 2 ?10 第1次循环结束

90 1 3 第2次循环结束

此时S?90?91首次满足条件，程序需在t?3时跳出循环，即N?2为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

3πππA．π B． C． D．

4２4【答案】B

3?1?【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r?1????，

2?2?22第 2 页 共 23 页

2则圆柱体体积V?πrh?3π，故选B. 4

9．等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为（）

A．?24 B．?3 C．3 D．8 【答案】A

【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.

2?a2?a6，即?a1?2d???a1?d??a1?5d? 则a32又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0 又∵d?0，则d??2

6?56?5d?1?6????2???24，故选A. ∴S6?6a1?22x2y210．已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线

abbx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为（）

1632 B． C． D．

333３【答案】A

【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx?ay?2ab?0相切，∴圆心到直线距离d等于半径，

2abd??a ∴22a?b又∵a?0,b?0，则上式可化简为a2?3b2

c22222222∵b?a?c，可得a?3a?c，即2?

a3c6∴e??，故选A

a3

11．已知函数f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)有唯一零点，则a?（）

111A．? B． C． D．1

２23【答案】C

【解析】由条件，f(x)?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)，得：

A．??f(2?x)?(2?x)2?2(2?x)?a(e2?x?1?e?(2?x)?1)?x2?4x?4?4?2x?a(e1?x?ex?1)

?x2?2x?a(ex?1?e?x?1)∴f(2?x)?f(x)，即x?1为f(x)的对称轴， 由题意，f(x)有唯一零点， ∴f(x)的零点只能为x?1， 即f(1)?12?2?1?a(e1?1?e?1?1)?0，

第 3 页 共 23 页